Почему мы ожидаем, что наши теории не будут зависеть от предельных значений?

Это очень интересный вопрос, который обычно упускается из виду. Во-первых, утверждение, что «физика больших масштабов отделена от физики малых масштабов», несколько вводит в заблуждение, поскольку действительно ренормализационная группа (РГ) [в вильсоновском смысле, единственное, что я буду использовать] говорит нам, как связать малые масштабируйтесь до больших масштабов! Но обычно под этим подразумевают, что если в потоке РГ существует фиксированная точка, то некоторая инфракрасная (ИК) [крупномасштабная] физика не зависит от деталей в мелком масштабе [ультрафиолетовое (УФ)], то есть является универсальным. Например, поведение корреляционных функций на большом расстоянии не зависит от голых параметров (чтобы зафиксировать настройку, скажем, скалярное поле с голыми параметрами$r_\Lambda, g_\Lambda$для квадратичного и квартичного взаимодействия и$\Lambda$является (на данный момент) конечной УФ-отсечкой).

Но не следует забывать, что многие физические величины неуниверсальны. Например, критическое значение$r_\Lambda$(при фиксированном$g_\Lambda$а также$\Lambda$) находиться в критической точке не является универсальным. А это физическая величина в конденсированном состоянии/статфизе, точно так же, как$\Lambda$также имеет физический смысл.

Точка зрения старой школы РГ (с контртермами и всем прочим) полезна для практических расчетов (помимо одной петли), но делает все гораздо менее ясным. В духе физики высоких энергий с КТП всего (т.е. неэффективной теорией) обрезание не нужно , потому что оно не имеет смысла, теория должна работать при сколь угодно высоких энергиях. Это означает, что мы должны отправить$\Lambda$до бесконечности. И здесь возникает еще один нетривиальный вопрос: что мы подразумеваем под$\Lambda\to\infty$?

Возмущающий ответ на это: возможность послать$\Lambda\to\infty$порядок за порядком в возмущении в$g$. Но это ли полный ответ на вопрос? Не совсем. Когда мы говорим, что хотим$\Lambda\to\infty$, это означает, что мы хотим определить КТП на непертурбативном уровне, которая действительна на всех расстояниях, и мы хотим, чтобы эта КТП была четко определена, то есть определялась конечным числом параметров (скажем, двумя или тремя). ). И на самом деле, этот непертурбативный бесконечный предел отсечения (который я буду называть континуальным пределом) принять гораздо труднее. Действительно, имея теорию, описанную в пределе$\Lambda\to\infty$с конечным числом параметров означает, что РГ течет в УФ к фиксированной точке. Точно так же RG должен течь в IR к другой фиксированной точке, чтобы его можно было хорошо контролировать. Это означает, что в непрерывном пределе на самом деле существует очень мало КТП и что некоторые КТП, которые пертурбативно перенормируемы ($\Lambda\to\infty$порядок за порядком в возмущении в$g$) не обязательно хорошо определены в непрерывном пределе!

Например, некоторые хорошо известные КТП в четвертом измерении (такие как скалярные теории или КЭД) не существуют в континуальном пределе! Причина в том, что даже если эти теории контролируются фиксированной точкой в ​​ИК (при «критичности», что для КЭД означает как минимум электроны с нулевой массой), то в УФ это не так, так как взаимодействие растет с ростом отрезать. Поэтому нужно указать значение бесконечного числа констант связи (даже «неперенормируемых»), чтобы точно выбрать одну траекторию РГ.

Одной из КТП, существующих в континуальном пределе, является скалярная теория размерности меньше четырех (скажем, трех). В этом случае при критичности существует одна траектория, которая контролируется фиксированной точкой в ​​УФ (неподвижная точка Гаусса) и в ИК (неподвижная точка Вильсона-Фишера). Все (!) другие траектории либо плохо определены в УФ (критические теории, но с произвольными в остальном константами связи), либо в ИК (некритическая теория). Тогда понятно, почему это$\Lambda\to\infty$Предел все меньше и меньше рассматривается как важный в современном подходе к (эффективным) КТП. Если только кто-то не хочет описать физику во всех масштабах с помощью КТП, не используя причудливую до сих пор неизвестную теорию при энергиях выше$\Lambda$. Тем не менее, эта идея управления КТП как в ИК, так и в УФ важна, если вы хотите доказать, что Общая теория относительности (непертурбативно) перенормируема (т.е. может быть описана на всех масштабах несколькими параметрами) в асимптотическом безопасном сценарии: если существует нетривиальная УФ-фиксированная точка, то существует траектория от этой фиксированной точки к гауссовской фиксированной точке (которая, я думаю, является эйнштейновской гравитацией), и вы можете выбрать континуальный предел, даже если пертурбативный$\Lambda\to\infty$не существует.

Ссылка: Большая часть этого вдохновлена ​​моим чтением очень хорошего введения в непертурбативную ренормгруппу, данного в arXiv 0702.365 , и особенно разделом 2.6 «Пертурбативная перенормируемость, потоки ренормгруппы, континуальный предел, асимптотическая свобода и все такое».

На каждом этапе перенормировки гамильтониан изменяется$\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}_{\textrm{ren.1}}\rightarrow \mathcal{H}_{\textrm{ren.2}} \rightarrow \ldots$; при этом, как вы говорите, исключаются энергетические моды и масштабы длины. Но дело в том, что каждый$\mathcal{H}, \mathcal{H}_{\textrm{ren.1}}, \mathcal{H}_{\textrm{ren.2}}, \ldots$(включая "оригинал"$\mathcal{H}$) является эффективной или возникающей теорией, применимой только в пределах своей области$\Omega, \Omega_{\textrm{ren.1}}, \Omega_{\textrm{ren.2}}, \ldots$. То есть отсутствие фундаментальных теорий даже в физике элементарных частиц было ключевым моментом, подчеркнутым К. Г. Уилсоном. Поэтому, например, в теориях поля затравочная масса электрона$m$становится просто математической конструкцией; истинным, как измеренным и измеримым , является реномализованное значение$m^*$.

Что касается расцепления, то я возьму это с точки зрения критических явлений. В этой критической точке, когда существуют корреляции во всей системе, расстояние между решетками не имеет значения, как мы хорошо знаем; следовательно, наибольший вклад вносят длинноволновые моды, протянувшиеся по всей системе. Ясно, что в такой ситуации разделение шкал длины оправдано; поскольку КТП и статистическая механика по существу эквивалентны через обозначение интеграла по путям Фейнмана, разделение оправдано в перенормируемых теориях поля. Если кто-то может сделать это математически строгим, пожалуйста, не стесняйтесь...

В качестве аналогии подумайте о классической системе со многими конфигурациями.$i$с энергиями$\epsilon_i$; в зависимости от температуры$T$, вклад конфигурации будет в значительной степени определяться ее больцмановскими весами$e^{-\epsilon_i/k_BT}$. В этом случае мы можем отбросить все другие вклады или моды, имеющие незначительный вес.