Изменение координат и изменение опорных осей

Наглядное объяснение, пожалуй, не нужно, но я объясню это максимально интуитивно.

Ответ на этот вопрос является ключом к тому, почему мы называем индексы и индексы таких объектов, как векторы, ковариантными и контравариантными .

Как вы знаете, фактическая длина вектора является инвариантом и должна оставаться неизменной независимо от того, как мы отождествляем его координаты в том или ином базисе. Независимо от того, куда указывает вектор, он имеет определенную длину в пространстве. Итак, если у нас есть вектор в одном базисе, а затем мы записываем его в другом базисе, мы должны сделать это без изменения длины вектора.

Назовем вектор в одном базисе$v$, который имеет базисные векторы$e$, и назовите его$v'$в другом базисе, с базисными векторами$e'$, так что$v'=v$(в общем$e'\ne e$). Кроме того, мы будем использовать индексы, т.е.,$e_i$для базисных векторов и верхних индексов, т.е.$v^j$для координат.

Как вы, возможно, уже знаете, общее преобразование из одной основы$e$на новую основу$e'$может быть определено

$$\tag 1 e' = e T$$ где$T$является матрицей преобразования (или тензором).

Мы могли бы использовать эту же матрицу для преобразования векторов координат, хотя мы и не ожидали, что сможем использовать ту же самую формулу . Это связано с тем, что основания и координаты здесь играют разные роли. То есть базисные элементы — это векторы, описывающие систему координат, а фактические координаты — это просто скалярные числа, описывающие положение векторов.

Например, предположим, что у меня есть некоторая наклонная система координат, и я решаю увеличить обе «оси» в коэффициенте a и b соответственно.

В общем, вы можете написать вектор

$$v = v^1 e_1 + v^2 e_2 \cdots + v^n e_n$$ и считайте теперь, что у нас есть новая основа$e'$что мы получим умножением$2$на основе векторов$e_i$ и умножение$2$координаты$v_j$также. Тогда мы получим вектор, который$4$раз больше исходного размера, что противоречит нашему первому предположению. Что мы должны были сделать, так это умножить$e_i$по$2$но умножить$v_j$обратным _ _$2$, а именно$\frac{1}{2}$получить$v' = v$что согласуется с нашей первой посылкой.

Поэтому, если нам когда-нибудь придется изменить$e$с коэффициентом, то$v$необходимо изменить обратным множителем, чтобы сохранить исходную предпосылку. Другими словами, для преобразования$v$в$v′$в основе$e′$нам нужно вместо этого использовать

$$\tag 2 v' = T^{-1} v$$

Тот факт, что элементы базиса изменяются согласно уравнению (1), а координаты изменяются «обратным образом» согласно уравнению (2), также является причиной того, что элементы базиса называются ковариантными, а координаты векторов — контравариантными (и также почему мы обозначьте одно и то же нижними и верхними индексами). Также обратите внимание, что некоторые люди используют противоположные позиции по индексам.

Система координат — это, по сути, способ уникальной маркировки точек в вашем пространстве.$N$-кортежи действительных чисел,$(x^1,\ldots,x^N)$. Выбор базиса — это задание набора векторов$\{\hat e_1,\ldots, \hat e_N\}$в каждую точку, по которой мы можем разложить векторные и тензорные величины по компонентам. Нет никакой причины, чтобы выбор системы координат и выбор базиса имели какое-то отношение друг к другу.

Однако выбор координат$(x^1,\ldots,x^N)$поставляется со свободным ( как в пиве ) выбором базиса, а именно набором базисных векторов$\big\{\frac{\partial}{\partial x^1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x^N}\big\}$. Часто удобно — особенно в элементарной дифференциальной геометрии — упростить задачу, выбрав естественный базис, индуцированный вашей системой координат. Если это сделать, то изменение координат$x^\mu\mapsto y^\mu$индуцирует соответствующую замену базиса$\frac{\partial}{\partial x^\mu} \mapsto \frac{\partial}{\partial y^\mu}= \frac{\partial x^\alpha}{\partial y^\mu} \frac{\partial}{\partial x^\alpha}$.

Если вы масштабируете свои координаты, так$y^\mu = a x^\mu$, то ваш основанный на координатах базис будет масштабироваться в другую сторону, т.е.$\frac{\partial}{\partial y^\mu} = \frac{1}{a}\frac{\partial}{\partial x^\mu}$.

Конечно, базис, индуцированный координатами, иногда может быть неудобен, особенно потому, что такие базисы, как правило, не являются ортонормированными. Мы вольны ( как и в речи ) использовать любой выбранный нами базис, если он более удобен для наших нужд, даже тот, который вообще не индуцируется какой-либо системой координат. Конечно, если вы не используете естественный базис, основанный на координатах, вам нужно будет более конкретно указать, какие именно базисы вы будете использовать до и после преобразования координат.

---

Чтобы проиллюстрировать это более ясно, рассмотрим полярные координаты$(r,\theta)$. для евклидовой плоскости. Координатно-индуцированный базис, заданный формулой$\big\{\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta}\big\}$, не ортонормирован; метрический тензор в этих координатах имеет вид

$$g_{\mu\nu} = \pmatrix{1 & 0 \\\ 0 & r^2 }$$ что означает, что внутренние продукты

$$g\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial r}\right)=1, \quad g\left(\frac{\partial}{\partial \theta},\frac{\partial}{\partial \theta}\right)=r^2,\quad g\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta}\right)=g\left(\frac{\partial}{\partial \theta},\frac{\partial}{\partial r}\right)=0$$

Этот базис ортогонален, но$\frac{\partial}{\partial \theta}$не нормируется. Вместо этого мы можем выбрать ортонормированный базис, заданный формулой

$$\hat e_r = \frac{\partial}{\partial r} \qquad \hat e_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}$$

Если мы масштабируем наши координаты так$r\mapsto \rho=ar$, то координатно-индуцированный базис меняется на$\big\{\frac{\partial}{\partial \rho},\frac{\partial}{\partial \theta}\big\} = \big\{\frac{1}{a} \frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta}\big\}$. Однако, если мы не хотим использовать этот основанный на координатах базис, то нет причин, по которым мы должны это делать.

В частности, если мы хотим использовать ортонормированный базис$\{\hat e_r,\hat e_\theta\}$как до, так и после изменения координат, то нет причин, по которым мы не можем этого сделать - в этом случае базисные векторы вообще не изменятся (очевидно).