Как постоянная времени RC влияет на поведение пассивного интегратора/дифференциатора?

Они имеют в виду, что пассивный фильтр R/C может только аппроксимировать дифференциатор/интегратор, пока постоянная времени намного медленнее, чем сигнал. Причина этого в том, что истинное поведение цепей R/C и R/L является экспоненциальным во времени, например, из базовой теории цепей общий отклик RC-цепи равен

$$V=V_0 (1-e^{(-t/RC)})$$ Если RC велико, e ^ x близко к линейному для малых значений t, что приводит к поведению, близкому к идеальному интегратору/дифференциатору.

Другой способ подумать об этом — рассмотреть случай интегратора в 1.15 с постоянным входным напряжением (например, Vin = 10 В). Мы ожидаем, что на выходе будет линейная рампа с постоянным наклоном (интегрирование константы = прямая линия). Однако, если RC слишком мало, происходит то, что после времени интегрирования V будет увеличиваться из-за зарядки конденсатора C. Это уменьшит ток через R, что, в свою очередь, уменьшит «наклон» выходного напряжения. В какой-то момент при V=Vin интегратор полностью перестает работать. Вот как поведение пассивного интегратора отличается от поведения идеального интегратора. И наоборот, если RC достаточно велико, напряжение на конденсаторе C никогда не станет достаточно большим, чтобы уменьшить ток через резистор R, и поэтому ток через резистор R будет примерно постоянным, действуя как интегратор.

Обратите внимание, что вы можете использовать операционные усилители и другие активные компоненты, чтобы заставить ток через резистор (в 1.15) быть постоянным, вот как работает схема «идеального интегратора» ниже:

В качестве альтернативы можно посмотреть фазовую характеристику цепей. Помните, что идеальный процесс дифференциации (интеграции) требует фазового сдвига между входом и выходом +90 градусов (-90 градусов). Пассивный CR соотв. Комбинация RC допускает эти значения только для бесконечных частот. Следовательно, только для относительно больших частот (намного выше 1/RC) возможна лишь аппроксимация требуемой операции.

В качестве активного примера показан активный (инвертирующий) интегратор, обеспечивающий требуемый фазовый сдвиг (с небольшими погрешностями) в относительно широкой полосе частот, но со значением +90 град (из-за инвертирующего свойства).