Попытка понять, почему сигнал был инвертирован в этом уравнении переходной характеристики RC

Это то же самое в любом случае. Вам не нужно умножать на -1. Попробуй это:

$$\begin{align} \frac{dt}{RC} &=\frac{dv}{v_s-v}\\ \\ \int_{v_0}^v \frac{dv}{v_s-v} &= \int_{0}^t \frac{dt}{RC}\\ \end{align}$$

давайте забудем о правой стороне, так как она не относится к вашему вопросу.

С использованием

$$\begin{align} \int \frac{1}{ax+b}dx = \frac{1}{a}ln|ax+b|\\ \end{align}$$

затем$a=-1$и$b=v_s$так

$$\begin{align} \int_{v_0}^v \frac{dv}{v_s-v} \rightarrow(-1)ln|v_s-v|\\ \end{align}$$

теперь следуйте остальной части руководства, и в конечном итоге вы получите

$$\begin{align} -v &= -v_s + (v_s-v_0)e^{\frac{-t}{RC}}\\ \end{align}$$

в какой момент, очевидно, решить для$v$, умножьте обе части на -1.

Проще говоря,$v - v_s$имеет более простую интерпретацию, чем$v_s - v$.

$v - v_s$является только переводом.

$v_s - v$это перевод и зеркально-знаковая инверсия для$v$.

Я лично не вижу проблемы в том, чтобы сделать шаг раньше, если вы знаете, чем вы должны закончить как педагог. Это не должно приводить к другому ответу и может облегчить просмотр других шагов. Этот минус все равно появится там как-то позже.

$$\begin{align} \frac{dt}{RC} &= \frac{dv}{v_s-v}\\ &\Downarrow \\ \frac{1}{RC}\int_0^tdt &= \int_{v_0}^v \frac{1}{v_s - v}dv \\ &\Downarrow \\ \frac{t}{RC} &= -\int_{v_0}^v \frac{1}{v_s-v}d(-v) \\ &\Downarrow \\ \frac{t}{RC} &= -\left( \ln|v_s-v| - \ln|v_s-v_0| \right) \\ &\Downarrow \\ \frac{t}{RC} &= -\ln\left| \frac{v_s-v}{v_s-v_0} \right| \\ &\Downarrow \\ -\frac{t}{RC} &= \ln\left| \frac{v-v_s}{v_0-v_s} \right| \end{align}$$

Что бы вы ни пытались, пока у вас есть эквивалентность, вы так или иначе закончите с одними и теми же уравнениями. Если вы получили другой результат, чем учитель, вы сделали что-то не так.