Цепь RLC установившегося состояния с зависимым источником тока

Несмотря на комментарии об обратном, эта схема имеет решение для устойчивого состояния, поскольку источник напряжения выдает 20 В для$t \ge 0$.

Я думаю, что это потому, что есть параллельная ветвь, которая по KCL должна равняться 100ix и будет равна нулю из-за разомкнутой цепи, обеспечиваемой конденсатором.

Правильно. KCL устойчивого состояния в рассматриваемом узле:

$$i_x + 99i_x = i_C(\infty) = 0 \rightarrow i_x = 0$$

Однако это кажется противоречащим здравому смыслу, потому что электричество не хочет проходить по внешнему контуру.

Это может показаться нелогичным, но это потому, что ваша интуиция еще не полностью развилась. Как только вы полностью поймете значение этого текущего источника, результат будет казаться очевидным .

Что вы должны полностью понимать, так это то, что источник тока полностью определяет ток через свою ветвь. Если в ответвлении есть источник тока и вы установили его значение равным нулю, то ответвление открыто , т. е. при любом напряжении на нем не может проходить ток.

И в этом случае, как вы справляетесь с петлей, у которой есть зависимый источник тока, зависящий от его собственного тока? Это вообще возможно?

Но здесь это не так*. Есть две сетки (петли), одна с током$i_x$а другой с током$99i_x$. Таким образом, управляющая переменная зависимого источника тока не является «собственным током».

Но если бы это было так, то единственный способ для источника произвести ненулевой ток - это чтобы коэффициент усиления по току был точно равен 1:

$$i_x = ki_x \rightarrow i_x = 0$$

пока не$k=1$в этом случае у вас есть

$$i_x = i_x$$

Поскольку любое значение$i_x$удовлетворяет уравнению, ток неопределим . Например:

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

В этой схеме напряжение и ток не определяются. Единственное уравнение, которое можно написать:

$$V_{CCCS1} = I_{CCCS1} \cdot 100\Omega$$

Но мы не можем определить, что такое ток или напряжение на самом деле, поскольку у нас есть два неизвестных и только одно уравнение.

* Да, в устойчивом состоянии можно утверждать, что здесь дело обстоит именно так, поэтому остальная часть ответа.

---

Эквивалентная схема справа от резистора

Несложно показать, что эквивалентная схема справа от резистора выглядит так:

^{смоделируйте эту схему}

Другими словами, для целей расчета$i_x(t)$, можно заменить цепь справа от резистора приведенной выше эквивалентной. Теперь при осмотре можно увидеть, что$i_x(\infty) = 0$

---

Установившийся ток равен нулю, потому что, учитывая, что возбуждение постоянное:

1. Крышка представляет собой разомкнутую цепь, поэтому ток через эту ветвь равен нулю.
2. Входной ток в эту ветвь поступает из двух ветвей, одна имеет$i_x$а у другого есть$99i_x$.

Итак, у вас есть это$100i_x$равен нулю, поэтому$i_x$равен нулю.

Что касается вашего комментария о том, что ток хочет пройти через внешнюю петлю, как своего рода петлю обратной связи (поскольку один ток является фактором другого, и они связаны друг с другом):

Во-первых, вам нужно понять, что индуктор справа имеет нулевой эффект, несмотря ни на что. Это связано с тем, что все, что делает индуктор, — это генерирует напряжение на своих клеммах, которое противодействует изменениям тока. Но природа источника тока (зависимого или независимого) заключается в том, что он будет изменять свое напряжение настолько, насколько это необходимо для протекания заданного тока. Таким образом, он будет противодействовать любому напряжению, которое может возникнуть через индуктор. Таким образом, вы можете включить резисторы, источники напряжения, катушки индуктивности и т. д. последовательно с источником тока, и они не будут иметь значения.

Как только вы это увидите, вы поймете, что правая ветвь просто пропорционально прибавляет к тому, что проходит через левую ветвь. Он становится усилителем тока, а выходной коэффициент равен 100 (=99+1, поскольку через него также протекает первоначальный ток). Фактическое значение тока ix будет зависеть от того, как средняя ветвь отреагирует на возбуждение источника напряжения + последовательного резистора, зная, что ток через них усиливается «впрыском» 99ix.

Альфред дал вам эквивалентную схему с крышкой в ​​100 раз меньше и катушкой индуктивности в 100 раз больше.

Это связано с тем, что с конденсатором эффект увеличения тока по напряжению эквивалентен уменьшению емкости:

$$dV_C = \frac{(100i)}{C} dt = \frac{i}{(C/100)} dt$$

А с катушкой индуктивности эффект увеличения тока по напряжению эквивалентен увеличению индуктивности:

$$V_L = L\frac{d(100i)}{dt} = (100L)\frac{di}{dt}$$

Таким образом, в этой схеме эффект масштабирования тока эквивалентен соответствующему масштабированию компонентов, которые он питает, с точки зрения напряжения, развиваемого на двух узлах, которые их содержат.

Если u(t) действительно является единичной ступенчатой ​​функцией, то, во-первых, вы должны четко это сказать, а во-вторых, ток явно равен 0 в установившемся режиме при проверке.

В установившемся режиме конденсаторы разомкнуты, а катушки индуктивности закорочены. Таким образом, средней вертикальной ветви схемы фактически нет. Теперь у вас есть два источника тока, которые должны быть равными и противоположными, но единственное возможное сходящееся решение состоит в том, что они оба равны нулю.

Математически говоря, Ix = -99 Ix, где Ix = 0 является очевидным ответом. Здесь не нужно много причудливых анализов.