Как правильно определить систему координат, в частности, ее отношение к векторным пространствам?

Мне понравилось обсуждение в «Геометрическом подходе к дифференциальным формам» Дэвида Бахмана и в «Тензорах, дифференциальных формах и вариационных принципах» Лавлока и Рунда.

Во-первых, векторным пространствам не нужны системы координат. Векторные пространства могут быть очень хорошо определены в абстрактных терминах. Отличная книга здесь Халмош "Конечномерные векторные пространства". Книга Аклера (предложенная выше) тоже великолепна.

В физике мы обычно хотим говорить о пространствах, в частности о топологических пространствах и, в частности, о дифференцируемых многообразиях. Допустим, у вас есть такой коллектор$M$и скалярная функция$F$определено на этом$M$. Функцию можно рассматривать как карту многообразия в пространство действительных чисел.$F: M\to \mathbb{R}$, т.е. для каждой точки$p\in M$на многообразии функция имеет действительное значение.

Кроме того, работа с абстрактными точками на многообразии обременительна, поэтому обычно определяют карту из действительных чисел или декартово произведение нескольких пространств действительных чисел на многообразие, т.е.$\varphi:\mathbb{R}\times\dots\mathbb{R}\to M$. Такой, чтобы для каждого$p\in M$существует уникальный набор действительных чисел$\{x^i\}_{i=1 \dots N}$, такой, что$\varphi\left(x^1,\,x^2\,\dots\right)=p$. Это система координат. Теперь мы можем определить$f=F\circ\varphi: \mathbb{R}\times\dots\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

Затем мы обычно хотим знать, сколько$F$меняется, когда мы переходим от$p_1=\varphi\left(x^1\dots\right)$к$p_2=\varphi\left(x^1+\delta x^1\dots\right)$. Это можно выразить как$df=\sum_i \delta x^i \frac{\partial f}{\partial x^i}=\delta x^i \partial_i f$. Теперь мы можем отметить, что существует сходство между векторными пространствами и частными производными, оба они могут быть сложены, умножены на действительные числа и т. д. Аналогия настолько хороша, что вы можете определить касательное векторное пространство в точке$p\in M$. Это касательное векторное пространство, обозначаемое$T_p M$, содержит все линейные комбинации частных производных первого порядка в$p$, т.е.$T_p M=\{\partial_1, \partial_1 + \partial_2, \partial_1 -3 \partial_2\dots\}$. Это векторное пространство, которое вы искали. В частности, вектор$v\in T_p M$,$v=v^i\partial_i$дифференциальный оператор, который можно применить к любой функции на$M$давать$v.f=v^i \partial_i f$, где$v^i$являются (действительными) числами.

Обратите внимание, что это векторное пространство определено только в одной точке многообразия. Совокупность касательных пространств во всех точках называется касательным расслоением. Там есть еще много вещей, которые нужно охватить. Штернберг обсуждает это в «Теории групп и физике».

Так в чем же практическая польза такого длинного определения? Что ж, определение вашего векторного базиса через производные может быть довольно элегантным. Например, можно показать, что декартовы базисные векторы в 3d задаются как$\mathbf{\hat{x}}=\boldsymbol{\nabla}x,\,\mathbf{\hat{y}}=\boldsymbol{\nabla}y,\,\mathbf{\hat{z}}=\boldsymbol{\nabla}z$. Точно так же мы можем определить ненормализованный базис для сферических координат как$\boldsymbol{e}_r = \boldsymbol{\nabla}r,\, \boldsymbol{e}_\theta = \boldsymbol{\nabla}\theta, \boldsymbol{e}_\phi = \boldsymbol{\nabla}\phi$. Итак, для любой функции$f=f\left(r,\,\theta,\,\phi\right)$, по определению,

$\boldsymbol{\nabla}f=\boldsymbol{e}_r\partial_r f + \boldsymbol{e}_\theta\partial_\theta f+ \boldsymbol{e}_\phi\partial_\phi f$,

но эквивалентно

$\boldsymbol{\nabla}f=\mathbf{\hat{x}}\partial_x f + \mathbf{\hat{y}}\partial_y f + \mathbf{\hat{z}}\partial_z f$.

Что, если$f=\theta$? Затем:

$\boldsymbol{e}_\theta = \mathbf{\hat{x}}\partial_x \theta + \mathbf{\hat{y}}\partial_y \theta + \mathbf{\hat{z}}\partial_z \theta$

Итак, теперь вы знаете, как разложить один из сферических базисных векторов в декартов базис из исчисления — нет необходимости в этих надоедливых диаграммах! Например$\tan\theta=\sqrt{x^2+y^2}/z$, так

$\partial_x \tan\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\partial_x \theta = \frac{x}{z\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\cos\phi}{r\cos\theta}$, так:

$\partial_x \theta = \frac{\cos\phi\cos\theta}{r}$

и т. д.

После некоторой работы вы можете восстановить нормализованный сферический базис$\mathbf{\hat{r}}=\boldsymbol{e}_r,\,\boldsymbol{\hat{\theta}}=r\boldsymbol{e}_\theta\,\boldsymbol{\hat{\phi}}=r\sin\theta\boldsymbol{e}_\phi$

Ну и что? Ну как насчет завитка?

$\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\hat{\theta}}=\boldsymbol{\nabla}\times r.\boldsymbol{\nabla}\theta=\boldsymbol{\nabla}r\times\boldsymbol{\nabla}\theta=\boldsymbol{\hat{r}} \times \boldsymbol{\hat{\theta}}/r$

Гораздо проще, чем пытаться работать с декартовыми координатами

Могут ли существовать системы координат без векторного пространства?

Да. Например, на поверхности Земли есть система координат, называемая широтой и долготой. Но поверхность сферы не является векторным пространством.

Как мы можем выразить это математически?

В случае сферической поверхности одним из распространенных способов является полярный угол$\theta$и азимутальный угол$\phi$.

Я склонен сказать, что система координат наложена на векторное пространство так, что оси находятся в направлении базисных векторов, а координаты являются скалярными компонентами вектора до любой заданной точки?

В основном, да. Но, говоря более формально, если вы выберете базисный набор,$B_1, B_2, ..., B_n$для некоторого векторного пространства, то для любого$V$это член пространства, вы можете найти уникальные скаляры$a_1, a_2,...,a_n$такой, что$V=a_1B_1+a_2B_2+\dots+a_nB_n$.

The $a_1, a_2,...,a_n$координаты _ _$V$.