Как правильно рассчитать главный момент инерции?

Формулы из документа НАСА и Википедии просто находятся в разных системах координат: формулы в Википедии предполагают систему координат, оси которой проходят через центр масс, тогда как в документе НАСА предполагается произвольная декартова система координат.

Пусть заглавные X _i , Y _i и Z _i обозначают координаты i-го атома в произвольной декартовой системе координат O, а x _i , y _i и z _i обозначают соответствующие координаты в системе O _com , переведенные в центр масс молекулы .

Координаты центра масс молекулы в системе О:

$$\begin{equation} X_{com} = \frac{1}{M}\sum_{i} m_i X_i \\ Y_{com} = \frac{1}{M}\sum_{i} m_i Y_i \\ Z_{com} = \frac{1}{M}\sum_{i} m_i Z_i \end{equation}$$

Преобразование из O в O _com — это просто перевод с помощью [-X _com , -Y _com , -Z _com ]:

$$\begin{equation} x_i = X_i - X_{com} = X_i - \frac{1}{M}\sum_{i} m_i X_i\\ y_i = Y_i - Y_{com} = Y_i - \frac{1}{M}\sum_{i} m_i Y_i\\ z_i = Z_i - Z_{com} = Z_i - \frac{1}{M}\sum_{i} m_i Z_i \end{equation}$$

Теперь возьмем, например, формулу для I _xx в кадре O:

$$\begin{equation} I_{xx} = \sum_{i} m_i (y_i^2 + z_i^2) \end{equation}$$

(Обратите внимание, что сумма двух членов в скобках — это просто евклидово расстояние между i-м атомом и осью x, как и следовало ожидать.)

Подставляя формулы для y _i и z _i выше, мы имеем

$$\begin{equation} I_{xx} = \sum_{i} m_i [(Y_i - Y_{com})^2 + (Z_i - Z_{com})^2] \\ I_{xx} = \sum_{i} m_i (Y_i^2 + Z_i^2) + \sum_{i} m_i (Y_{com}^2 + Z_{com}^2) - 2 \sum_{i} m_i (Y_i Y_{com} + Z_i Z_{com}) \\ I_{xx} = \sum_{i} m_i (Y_i^2 + Z_i^2) + M (Y_{com}^2 + Z_{com}^2) - 2 M (Y_{com}^2 + Z_{com}^2) \\ I_{xx} = \sum_{i} m_i (Y_i^2 + Z_i^2) - \frac{1}{M}(\sum_{i} m_i Y_i)^2 - \frac{1}{M}(\sum_{i} m_i Z_i)^2 \end{equation}$$

что в точности соответствует формуле I _xx в документе НАСА. Аналогично для остальных формул.

Интересно, что сумма двух последних слагаемых в итоговой формуле — это именно то, что можно было бы ожидать от теоремы о параллельных осях .

Вывод состоит в том, что вы должны использовать любые формулы, соответствующие вашей системе координат. Если центр вашей системы координат совпадает с центром масс молекулы, то можно воспользоваться более простыми формулами из Википедии. В противном случае вам следует использовать данные из документа НАСА.