Пример, когда угловой момент и угловая скорость не параллельны

В основном обсуждении углового момента, когда что-то вращается вокруг фиксированной симметричной оси

$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$

сводится к

$\vec{L}=I*\vec{\omega}$

Как в этой анимации, где каждый вектор окрашен соответствующим образом:

Однако угловая скорость и момент количества движения могут иметь разные направления в двух случаях: Если ось вращения несимметрична или ось вращения движется.

Вот пример:

Ты это видишь$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$это не то же направление, что и$\vec{\omega}$равно как и упрощение$\vec{L}=I*\vec{\omega}$быть правильным.

Вектор положения$\vec{r}$- вектор между исходной точкой и массой (обратите внимание, что в этих задачах не учитывается масса стержня), только в простых случаях вращения, таких как первый случай, он перпендикулярен$\vec{\omega}$. Например, в системе масс эти векторы к массам относительно точки отсчета могут быть комплексными. Гораздо проще взять точку отсчета за центр масс. В каждом случае$\vec{r}$- это позиционный вектор между вашей контрольной точкой и массой, и их составные угловые моменты будут накладываться (суммироваться) вместе.

Давайте ограничим обсуждение жесткими объектами, вращающимися с фиксированной скоростью.$\vec{\omega}$, то есть фиксированная ось и постоянная угловая скорость. Вот пара наблюдений:

1. $\vec{L}$вращается вместе с твердым телом. Мы могли бы приклеить маленькую стрелку, представляющую$\vec{L}$к корпусу, чтобы стрелка вращалась вокруг$\vec{w}$с той же скоростью, что и тело.

2. Если$\vec{L}$параллельно$\vec{w}$, то на него не действует вращательное движение. В противном случае,$\vec{L}$изменяется на протяжении всего вращательного движения.

3. Если$\vec{L}$изменяется, значит через ось действует внешний момент .

Учитывая эти наблюдения, мы можем констатировать следующее:

$\vec{L}$не параллельно$\vec{\omega}$ тогда и только тогда , когда крутящий момент необходим для поддержания вращения объекта вокруг фиксированной оси.

Чтобы почувствовать это, попробуйте подержать в руках вращающееся велосипедное колесо. Если колесо слегка разбалансировано, вы почувствуете колебательный крутящий момент от оси — это происходит из-за изменений в$\vec{L}$как он вращается вокруг$\vec{\omega}$. Если колесо идеально отбалансировано, то ничего не почувствуешь -$\vec{L}$параллельно$\vec{\omega}$и фиксируется на протяжении всего вращения.

Вот диаграмма, предоставленная @user6972, показывающая, как именно$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$может иметь разное направление$\vec{\omega}$:

Ответ выше дает примеры, но если вы хотите знать, «КАК» это происходит, рассмотрите следующее уравнение

Вы можете диагонализовать симметричный тензор момента инерции (повернув базис. В этом базисе вы получите

и, таким образом, вы видите, что в этом базисе всякий раз, когда у вас есть два или более компонентов$\omega$ненулевые по направлениям с неравными$\lambda$вы не можете иметь угловой момент, параллельный угловой скорости.