Как пространство может быть евклидовым, когда свет искривляется?

Я читал людей, утверждающих, что трехмерные пространственные участки пространственно-временного континуума (независимо от количества его измерений) кажутся евклидовыми на основании эмпирических данных. Я не могу примирить это с моим пониманием того, что

  1. Масса существует
  2. Масса действительно искривляет пространственно-временной континуум и сечения трехмерного пространства.
  3. искривление света было объяснено искривлением пространства-времени.
Теория пространства-времени и его кривизны — это Общая теория относительности (ОТО). В ОТО пространство-время — это многообразие , представляющее собой геометрический объект, который локально выглядит как р 3 , т.е. евклидово пространство. Я не знаю о конкретных экспериментальных данных, но они должны согласиться с этим.
Я думаю, будет справедливо сказать, что вопрос недействителен, потому что пространство вообще не является евклидовым.

Ответы (3)

Свету требуется время, чтобы искривиться, т.е. искривление света является следствием кривизны геодезических в четырехмерном пространстве-времени. С другой стороны, на трехмерном снимке пространства геодезические представляют собой прямые линии (некоторые подробности показаны ниже). Именно поэтому мы так долго считали пространство евклидовым и почему все эксперименты на Земле в локальном масштабе хорошо согласуются с гипотезой евклидовой геометрии.

Возьмем, к примеру, метрику пространства-времени Шварцшильда вокруг сферической массы (взято из Википедии):

г с 2 "=" ( 1 − р с р ) г т 2 − ( 1 − р с р ) − 1 г р 2 − р 2 ( д θ 2 + грех 2 ⁡ θ д ф 2 )

Для р ≫ р с , пространственная составляющая этой метрики просто

г л 2 "=" − г с 2 ∣ г т "=" 0 "=" г р 2 + р 2 ( д θ 2 + грех 2 ⁡ θ д ф 2 )

что является просто трехмерной евклидовой метрикой в ​​сферических координатах. Конечно, это только приблизительно евклидово (и приближение нарушается для р ∼ р с ), но этого было достаточно, чтобы одурачить нас всех до Эйнштейна.

Таким образом, это должно быть довольно легко согласовать с эмпирическими данными. Просто взгляните на вещи и спросите себя: «Геометрия в средней школе работает довольно точно, не так ли?».

Спасибо, Джумберли. Первый из двух комментариев. У меня трудности с вашей первой частью. В самом деле: представляя себе наблюдателя и звезду, сидящую диаметрально противоположно Солнцу, и световой луч звезды, обнаруженный наблюдателем, я не могу не представить искривленную траекторию светового луча (проекция на солнце небесной экваториальной плоскости движения луча в четырехмерном временном пространстве). ) - это двумерная пространственная геодезическая, которая искривляется в двумерном пространстве, если ее просто наблюдать из трехмерного евклидова пространства. Наверняка я что-то упускаю. еще раз спасибо
Спасибо, Джумберли. Второй из двух комментариев. У меня есть трудности с использованием вами метрики Шварцшильда. Во-первых, меня интересует r порядка rs — иначе мы имеем плоское пространство Минковского. Затем см., например, P. Collier, A Most Incomprehensiable Thing, p. 255,6,7 : Для каждого фиксированного t пространство есть слоение сфер, верно. Тем не менее, поскольку «r» не является «правильным расстоянием (радиальным)», круги ведут себя не так, как в плоском пространстве: правильное пространственное расстояние d между двумя пространственными копланарными и концентрическими окружностями длиной 2r и 2r+dr ) не dr, а dr/√(1-2m/r). Еще раз спасибо.
Извините за потерю символов: они были: пространственное расстояние dsigma; длины 2 Pi r и 2 Pi (r+dr). Спасибо.
@massimo Ты слишком все усложняешь. Дело в том, что хотя ваше понимание № 2 верно, кривизна трехмерного пространства невелика, за исключением крайних случаев. Я также думаю, что вы неправильно понимаете «кажется евклидовым» - это говорит о том, что пространство приблизительно евклидово, а не точно евклидово, в пределах чувствительности большинства экспериментов. Один из таких экспериментов: измерьте площадь треугольника. Другой: отправить к Плутону зонд с навигационной системой, которая предполагает, что трехмерное пространство является евклидовым, как это делает НАСА.
@massimo Если вас интересует r порядка rs (что является хорошей моделью только для черных дыр, потому что решение Шварцшильда не подходит внутри звезды, и, в частности, при радиусе Шварцшильда, который намного меньше радиуса звезда), то приблизительно евклидова природа пространства нарушается. Это определенно хорошее приближение для умеренных масштабов, вдали от черных дыр и областей крайней кривизны и меньших, чем масштабы Хаббла, на которых Вселенная может иметь положительную или отрицательную кривизну (хотя даже там она кажется плоской).
Спасибо, Джумберли. Первый комментарий из двух. О рупиях Rs для Солнца составляет 3 км. У Sun R 700к км. Rs/R около 10 exp(-6), что немаловажно (в сравнении с поверхностью Солнца). Спасибо.
Спасибо, Джумберли. Второй комментарий из двух. Я отказался от измерительного треугольника, чтобы обнаружить неевклидово  Ибо я видел, что мы измеряем только временные интервалы (ВЗ). Время подчиняется специальной теории относительности, а также подвержено влиянию массового присутствия. Распределением масс занимается теория возмущений. Точные значения массы нам неизвестны. И т. д. Поэтому невозможно установить, в какой степени все эти факторы могут компенсировать/мешать расчету (очень малой) кривизны ПРОСТРАНСТВА. Спасибо.
@massimo Я бы сказал, что поправки порядка 10 ^ -6 для большинства целей незначительны! Что-то, что влияет на вычисления в шестом десятичном знаке, было бы трудно заметить исторически, даже если бы мы могли проводить эксперименты на поверхности Солнца (не говоря уже о том, что эксперимент, который мог бы измерить это, не был бы интересным и важным).

Утверждение, что пространство является евклидовым, является общим утверждением, не предназначенным для применения вблизи очень массивных тел или в произвольных объемах. Один из смыслов, в котором это можно понимать, состоит в том, чтобы придерживаться «в среднем» для всего пространства-времени — вселенной — как таковой.

Лучшим кандидатом на роль общей метрики пространства-времени является метрика FRLW , которая является точным решением для однородной и изотропной вселенной (выглядит одинаково во всех точках во всех направлениях). В больших масштабах однородность космического микроволнового фона предполагает, что это хорошее приближение к нашей Вселенной в целом. Это написано как

д с 2 "=" − д т 2 + а ( т ) 2 д Σ 2

по модулю общего знака и множителя с установлен в 1 , где д Σ 2 является метрикой трехмерного пространства равномерной кривизны. Итак, есть три разных вида пространства, которые могут быть: гиперболическое (отрицательная кривизна), эллиптическое (положительная кривизна) или евклидово (плоское) пространство.

По сути, их можно отличить по тому, как складываются углы в треугольнике. А теперь посмотрите на пространство вокруг себя, в астрономических масштабах (так возьмите треугольник из звезд). Наблюдения астрономов в этом ключе показали, что нет серьезных указаний на то, что пространственная часть пространства-времени искривлена ​​в больших масштабах (хотя локально это вполне может быть), хотя из-за экспериментальных ошибок мы, конечно, можем только сказать, что кривизна очень близко к нулю.

Другой способ попасть в евклидово пространство — сделать приближение слабого поля, т.е. уйти далеко от шварцшильдовского радиуса сверхмассивного тела.

Пространство можно сделать сколь угодно близким к Минковскому (пространственная часть евклидова), выбрав достаточно малый четырехмерный куб пространства-времени. Итак, достаточно малые объемы в каком-то смысле точно евклидовы.
Спасибо ACuriousMind. Вы привели в точности те аргументы, которые поставили меня в тупик, но добавили для меня фундаментальное distiguo: «[...] нет никаких серьезных указаний на то, что пространственная часть пространства-времени искривлена ​​в больших масштабах (хотя локально это вполне может быть) [ ...]», говоря «хотя локально, вполне может быть», вы ясно выразили мою точку зрения: разве уже не доказано, что локально пространство искривлено, тем фактом, что пространственная траектория луча звезды искривляется вокруг Солнца? ? См. также мой ответ доброму Джумберли. еще раз спасибо
@massimo Кривизна света вокруг Солнца является подтверждением того, что пространство-время искривлено локально, а не пространство . Конечно пространство искривлено, просто не сильно.
@jwimberley, Спасибо, Итак, мы можем согласиться с тем, что ПРОСТРАНСТВО изогнуто, хотя и «очень мало»?
Мое резюме для вашей любезной проверки: ЧАСТЬ 1. Геометрия Пространства - Локально: Наши уравнения, например, Шварцшильда, говорят нам, что ПРОСТРАНСТВО искривлено вблизи больших масс. Тем не менее, за исключением ЧД, кривизна слишком мала для проведения наших экспериментов/приложений.
Мое резюме для вашей проверки: ЧАСТЬ 2. Геометрия Пространства в глобальном масштабе: независимо от того, локально оно «слегка бугристое», если я смотрю на все Пространство, оно плоское или искривленное (как сфера или гиперболоид)? На этот вопрос у нас НЕТ уравнений, и мы можем только сказать, что он появляется из наблюдений: он кажется ПЛОСКИМ.
Я хочу поблагодарить за стимулирующую дискуссию и добавить мой скромный заключительный комментарий. Наши математические модели (даже такие простые, как у Шварцшильда) говорят нам, что локально пространство искривлено, неевклидово. На качественном уровне это имеет огромное значение в нашем понимании того, насколько радикальными и сложными мы должны быть, чтобы моделировать Вселенную. Что касается количественных аспектов, то они кажутся незначительными 1. СЕГОДНЯ, но точно их не было на ранних стадиях концентрации массы Вселенной 2. Вдали от крупных тел 3. Для наших текущих приложений/средств обнаружения. спасибо всем
@massimo Да, я думаю, что все утверждения в ваших последних трех комментариях верны.

Вы абсолютно правы в том, что трехмерные сечения пространства-времени не удовлетворяют евклидовой геометрии — они не плоские. Однако они почти плоские. В масштабе комнаты кривизна действительно очень мала.

Я не знаю точного контекста, в котором вы читаете, что «трехмерные пространственные сечения пространственно-временного континуума (независимо от количества его измерений) кажутся евклидовыми на основании эмпирических данных», но я предполагаю, что авторы не утверждали, что пространственные сечения действительно являются евклидовыми. (в смысле быть плоским), в меру нашего понимания и с бесконечной точностью. Они имели в виду только то, что такие сечения кажутся евклидовыми при наблюдении с помощью простых методов.

Как пространство может быть евклидовым, когда свет искривляется?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v