Википедия дает формулу приливного нагрева$\dot{E}$в качестве

$$\dot{E}=-\text{Im}(k_2)\frac{21}{2}\frac{R^5n^5e^2}{G}\tag{1}$$ куда$R$радиус спутника,$n$это что-то странное, называемое его средним орбитальным движением , и$e$- эксцентриситет его орбиты. Мне вообще не нравится это представление. Другой способ переписать его использует отношение $$\mu=a^3n^2\implies n^5=\left(\frac{Gm_p}{a^3}\right)^{5/2}$$ куда$\mu\equiv Gm_p$, с$m_p$масса планеты. Следовательно, мы находим, что $$\dot{E}=-\text{Im}(k_2)\frac{21}{2}\frac{G^{3/2}m_p^{5/2}R^5e^2}{a^{15/2}}\tag{2}$$ Это немного некрасиво, но это избавляет от$n$, поэтому все остальные переменные являются либо свойствами орбиты Луны, либо физическими свойствами Луны или планеты.

Расчет второго числа Любви

я проигнорировал это$k_2$- назвал второе число Любви - потому что его довольно сложно вычислить. Я обычно полностью игнорирую его и заменяю чем-то вроде$0.02$или же$0.03$за$\text{Im}(k_2)$для спутников, подобных нашей Луне (см. 1 и 2 ). Но если вы действительно хотите вычислить это, продолжайте.

Я ссылаюсь на Hussman et al. (2010) , в частности,$\text{Eq. }32$:

$$k_2=1.5\left(1+\frac{19}{2}\frac{\mu_c}{\rho gR_s}\right)^{-1}$$ для жесткости$\mu_c$, гравитация на поверхности$g$и радиус$R_s$.$\mu_c$можно рассчитать как $$\text{Re}(\mu_c)=\frac{\eta^2n^2\mu}{\mu^2+\eta^2n^2},\quad\text{Im}(\mu_c)=\frac{\eta n\mu^2}{\mu^2+\eta^2n^2}$$ а также $$\mu_c=\text{Re}(\mu_c)+\text{Im}(\mu_c)$$ для упругой жесткости$\mu$, вязкость$\eta$, а среднее движение $n$, определяется как$2\pi$деленное на период обращения спутника.$\text{Re}(z)$а также$\text{Im}(z)$обозначает действительную и мнимую части комплексного числа. Другими словами, если $$z=a+bi$$ для действительных чисел$a$а также$b$, тогда $$\text{Re}(z)=a,\quad\text{Im}(z)=b,\quad z=\text{Re}(z)+i\text{Im}(z)=a+bi$$

$\mu_c$мнимое число, а значит$k_2$. Однако мы можем немного упростить это. Если мы установим

$$a\equiv\frac{19}{2\rho gR_s}\text{Re}(\mu_c),\quad b\equiv\frac{19}{2\rho gR_s}\text{Im}(\mu_c)$$ , тогда $$k_2=(a+1)\frac{1.5}{(a+1)^2+b^2}-\frac{1.5bi}{(a+1)^2+b^2}$$ и поэтому у нас есть гораздо лучшее выражение для$\text{Im}(k_2)$: $$\text{Im}(k_2)=-\frac{1.5b}{(a+1)^2+b^2}$$ Там. Надеюсь, это было весело. Опять же, гораздо лучше просто подставить типичные значения.$k_2$было изучено и измерено во многих деталях.

Масштабирование на основе Io

Были сделаны измерения относительно значительного приливного нагрева Ио , одного из спутников Юпитера. Разумное значение для$\dot{E}$ является$\sim10^{14}$Вт . Также известны дополнительные параметры:

• $\text{Im}(k_2)\approx0.015\pm0.003$
• $R\approx1800\text{ km}$
• $e\approx0.0041$
• $a\approx4.2\times10^5\text{ km}$

Поэтому, позволяя$M_J$быть массой Юпитера, и подключив$G^{3/2}$, мы находим, что, предполагая аналогичную внутреннюю модель, как у Ио, величина$\dot{E}$является

$$\dot{E}\approx10^{14}\left(\frac{\text{Im}(k_2)}{0.015}\right)\left(\frac{m_p}{M_J}\right)^{5/2}\left(\frac{R}{1800\text{ km}}\right)^5\left(\frac{e}{0.0041}\right)^2\left(\frac{a}{4.2\times10^{5}\text{ km}}\right)^{-15/2}\text{ Watts}\tag{3}$$ с которым, надеюсь, легче работать, чем$(2)$.