Как рассчитать время, необходимое космическому кораблю, чтобы пройти заданное количество метров по эллиптической орбите или по гиперболической траектории?

У нас есть эллиптическая орбита и космический корабль, путешествующий по ней. Мне нужна формула для расчета времени, необходимого космическому кораблю, чтобы пройти заданное количество метров, начиная с его текущего положения.

Кеплеровы элементы орбиты известны.

Если я знаю разницу между текущей и будущей истинной аномалией, я могу использовать формулу орбитального периода для расчета этого времени, но как найти будущую аномалию по заданной длине хорды орбитального эллипса (ближайшая точка) и начальной истинной аномалии?

А также мне нужны такие же расчеты для гиперболической траектории

Я не думаю, что существует какая-либо формула в закрытой форме для длины дуги вдоль произвольного эллипса, и вам, вероятно, придется привести к числовым приближениям. Что вы планируете делать с этим значением? Могут быть гораздо более простые варианты, которые дают желаемые результаты.
@notovny Мы можем заменить длину дуги на длину хорды. Это вычислимо?
В качестве отправной точки вам нужен неполный эллиптический интеграл второго рода. Некоторые инструменты (например, Mathematica, MATLAB) предоставляют реализации. (Большинство этого не делает.) Эта начальная точка будет обеспечивать длину дуги от одного момента времени к другому (альтернативно, с другой формулировкой, длину дуги от одной истинной аномалии к другой). Поэтому я и написал "отправная точка". Вам нужна обратная функция неполного эллиптического интеграла второго рода. Я не знаю ни одного инструмента, который обеспечивает это.

Ответы (1)

Для любой неэллиптической орбиты (например, гиперболической орбиты) или когда орбитальная динамика — это не просто динамика двух тел с одной точечной массой, вам понадобится числовой интегратор, такой как Рунге-Кутта 89.

Вы можете использовать локальный вектор скорости в качестве плохого приближения или начального предположения к подходу Ньютона-Рафстона, если вы действительно не хотите использовать числовой интегратор, но это решение, скорее всего, не будет хорошим.

Основная причина, по которой люди склонны использовать существующие астродинамические инструменты, заключается в сложности правильной, точной и быстрой реализации орбитальной механики.

Будет ли проще, если мы заменим длину дуги на евклидову длину до точки (длину хорды)?
@Robotex, насколько точным должен быть ответ? вы, конечно, можете заставить некоторые вычисления дать вам число, но если вы не будете очень осторожны, число, которое вы найдете, будет слишком неправильным, чтобы быть полезным. Один из способов, которым я бы посоветовал прочитать ответ ChrisR: «даже эта, казалось бы, простая вещь требует серьезных числовых вычислений. Пожалуйста, научитесь использовать существующий инструмент, который даст вам хорошие ответы, а не пытайтесь написать что-то с нуля, что вы никогда не сможете проверить тщательно."
@RyanC «Пожалуйста, научитесь использовать существующий инструмент, который даст вам хорошие ответы» - в этом случае я ничего не узнаю
@Robotex В этом случае начните с предложения Дэвида Хаммена об эллиптических интегралах, поскольку это даст вам точное решение, если бы орбита на самом деле была эллипсом. После этого приступайте к численному решению уравнений движения, чтобы измерить длину кривой, которая на самом деле не является эллипсом. Я неравнодушен к предикторам-корректорам Адамса-Башфорта-Моултона, но Рунге-Кутта-Фельберг или Дорманд-Принс также являются полезным дополнением к вашему набору инструментов.
@Robotex, извиняюсь, если мой ответ так попался. Я пытался сказать, что нужно использовать числовой интегратор Рунге Кутта 89 (или написать его, если хотите). Затем напишите уравнения движения для орбитальной динамики, используя декартовы координаты (я полагаю, что кеплерианские EOM не будут работать с гиперболическими орбитами из-за отрицательной SMA, но в любом случае они неточны). Затем запрограммируйте схему интерполяции (Hermite или другую) для интерполяции траектории. Наконец, реализуйте решатель Брента для поиска на траектории желаемой истинной аномалии.
@RyanC Мне любопытно, что вы думаете об Адамсе Башфорте по сравнению с Рунге Куттой. Я всегда использовал RK, но меня можно убедить сменить Адамса Башфорта. Разве это не неявный интегратор?
@ChrisR слишком сложно для моего мозга)
Методы @ChrisR Adams представляют собой многошаговые полиномиальные версии более высокого порядка прямых и обратных методов Эйлера. Адамс-Бэшфорт — явный предиктор, а Адамс-Моултон — неявный корректор. Они обладают хорошими свойствами устойчивости даже при относительно больших шагах, по крайней мере, в тех уравнениях, которые мы используем для орбит. Я увлекся ими, потому что они были лучшим инструментом, реализованным до сих пор в программном пакете, который мне когда-то нужно было использовать. Книга, которая убедила меня придерживаться их, — Герхард Бейтлер, «Методы небесной механики» (2004), особенно разделы 7.4 и 7.5.
Можете ли вы привести пример?
@Robotex пример чего?
Как рассчитать время, необходимое космическому кораблю, чтобы пройти заданное количество метров по эллиптической орбите или по гиперболической траектории?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v