Как рассчитать время, за которое космический корабль, стартующий с Земли, достигнет другой планеты?

Не существует единственно возможной продолжительности путешествия между двумя планетами в фиксированную эпоху. Вы можете выбрать траекторию в соответствии с различными критериями, а затем вычислить переходную орбиту, которая удовлетворяет вашим ограничениям. Как только вы узнаете время t _{1 ,} в которое вы хотели бы стартовать, и время t ₂ , в которое вы хотели бы достичь пункта назначения, вы решаете задачу Ламберта для t ₁ , t ₂ , r ₁ , r _{2 ,} где r ₁ — это положение исходной планеты в момент времени t ₁ и r ₂ — это положение планеты назначения в момент времени t _2.. Задача Ламберта по существу является краевой задачей для уравнений движения космического корабля в центральном гравитационном поле Солнца.

В качестве решения вашей задачи Ламберта вы находите траекторию космического корабля через его положение r и скорость v как функции времени t . Это позволяет вам вычислить дельта-v, необходимую для запуска на исходной планете, и дельта-v, необходимую для разрыва на планете назначения:

$$\begin{equation} \Delta{v_L} = |v_s(t_1)-v_{p_1}(t_1)| \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Delta{v_B} = |v_s(t_2)-v_{p_2}(t_2)| \end{equation}$$

где Δv _L — дельта-v, необходимая для старта, Δv _B — дельта-v, необходимая для разрушения, v _s (t) — скорость космического аппарата в эпоху t , v _p (t) — скорость планеты p в эпоху t , p ₁ — исходная планета, а p ₂ — конечная планета. Все скорости указаны относительно Солнца. Если ваша миссия включает только пролет, а не выход на орбиту вокруг планеты назначения или посадку на ее поверхность, вам не нужно учитывать Δv _B .

Может оказаться, что один или оба из этих дельта-противов неосуществимы или слишком дороги для вашей силовой установки. По этой причине реальные миссии разрабатываются с использованием алгоритмов оптимизации, которые многократно решают проблему Ламберта для различных возможных дат t ₁ и t ₂ . Таким образом, ваша двигательная установка сталкивается с проблемой наложения ограничений на допустимые пусковые окна.

Одним частным случаем, который легко решить, является перенос Хомана . Это очень энергоэффективная прямая траектория между двумя круговыми орбитами, которая занимает 180 градусов вокруг Солнца. В этом случае время в пути равно

$$\begin{equation} \Delta{t} = \pi \sqrt{\frac{(r_1+r_2)^3}{8GM}} \end{equation}$$

где G — гравитационная постоянная, а M — масса Солнца.

Вышеизложенное предполагало, что в вашей силовой установке используются химические двигатели, которые срабатывают очень кратковременно, но обеспечивают очень высокое значение дельта-v (часто моделируемое как мгновенное изменение скорости). Существуют альтернативы, в том числе двигательные установки малой тяги, такие как ионные двигатели и солнечные паруса . Проектирование траекторий с этими двигательными установками требует решения более общих уравнений движения, чем в задаче Ламберта.

В реальных миссиях также часто используются преимущества гравитационных маневров и маневров в глубоком космосе, которые требуют более сложных вычислений, а также алгоритмов оптимизации, таких как дифференциальная эволюция или оптимизация роя частиц , и алгоритмов сокращения пространства поиска, таких как гравитационное сокращение пространства .

Чтобы прямо ответить на ваш вопрос: если вы не укажете, какую траекторию вы выбрали для своей миссии из бесконечного множества прямых и непрямых путей с одной планеты на другую, простой формулы для времени в пути не существует. Более того, время в пути — это переменная, которую вы можете регулировать по мере планирования миссии. Чтобы проверить, возможно ли заданное время в пути по траектории прямого перелета с использованием химического двигателя, вы должны решить задачу Ламберта для ваших параметров и определить, соответствуют ли требуемые дельта-vs вашим возможностям.