Каково оптимальное направление горения на нижний перицентр гиперболической орбиты?

Если вы посмотрите на эту проблему в 2D, у вас есть следующие параметры в какой-то момент, которые описывают вашу траекторию (положение и скорость) вокруг небесного тела с гравитационным параметром$\mu$, радиус$r$, радиальная скорость$v_r$и тангенциальная скорость$v_t$. Есть также несколько других, но они не имеют большого значения в этой задаче из-за симметрии.

Вы можете рассчитать радиус вашего перицентра , используя уравнения для большой полуоси и эксцентриситета , которые при выражении в$\mu$,$r$,$v_r$а также$v_t$выглядит как

$$a = \frac{\mu r}{2\mu - \left(v_r^2 + v_t^2\right) r}, \tag{1}$$

$$e = \sqrt{1 + \frac{\left(v_r^2 + v_t^2\right) r}{\mu} \left(\frac{v_t^2 r}{\mu} - 2\right)}, \tag{2}$$

$$r_{pe} = a (1 - e), \tag{3}$$

с$a$большая полуось,$e$эксцентриситет и$r_{pe}$перицентр.

Теперь, если вы вычислите полную производную перицентра по времени, она должна быть равна нулю, если никакая другая внешняя сила не приложена, кроме ньютоновской гравитации, потому что без возмущения каждый элемент орбиты должен оставаться постоянным,

$$\frac{d p_{pe}}{dt} = \frac{\partial r_{pe}}{\partial r} v_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \dot{v}_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \dot{v}_t = 0, \tag{4}$$

куда$\dot{v}_r$а также$\dot{v}_t$являются производными по времени от$v_r$а также$v_t$соответственно, что совпадает с компонентами вектора чистого ускорения.

Если теперь приложить дополнительную силу/ускорение, зажигая двигатели под углом$\phi$относительно тангенциального направления, как показано на изображении ниже, уравнение$(4)$теперь не обязательно будет равно нулю.

Величина дополнительного ускорения равна$f$. Применяя это ускорение и используя это уравнение$(4)$равна нулю производная по времени от$r_{pe}$становится,

$$\frac{d p_{pe,f}}{dt} = \frac{\partial r_{pe}}{\partial r} v_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \left(\dot{v}_r - f \sin\phi\right) + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \left(\dot{v}_t + f \cos\phi\right) = f \left(\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \cos\phi - \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \sin\phi\right). \tag{5}$$

Вы хотите знать, под каким углом$\phi$значение производной по времени от$r_{pe,f}$становится самым большим. Это можно сделать, продифференцировав его по$\phi$и решите для него, когда вы установите полученное уравнение равным нулю.

$$\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\frac{d p_{pe,f}}{dt}\right) = f \left(-\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \sin\phi - \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \cos\phi\right) = 0, \tag{6}$$

решение для$\phi$урожайность,

$$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{-\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r}}{\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t}}\right). \tag{7}$$

Единственная запутанная часть этого решения — вычисление частных производных$r_{pe}$.

Когда я пытаюсь решить это для вашего примера, я получаю угол -3,2544 °, что очень близко к тангенциальному направлению, что уменьшает угловой момент орбиты, но также близко к перпендикуляру к текущей скорости, потому что радиальная скорость равна больше тангенциальной скорости.