Коммутатор гамма-матриц Дирака

Хотя алгебра Клиффорда$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}$является самым известным, для коммутатора существует выражение:

$$[\gamma^\mu,\gamma^\nu] = 2\gamma^\mu \gamma^\nu - 2 \eta^{\mu\nu}$$

Матрица, определяемая$[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$на самом деле имеет цель: он формирует представление алгебры Лоренца. Если мы определим$S^{\mu\nu}$как$1/4$коммутатор, то имеем,

$$[S^{\mu\nu},S^{\rho\sigma}] = \eta^{\nu\rho}S^{\mu\sigma} - \eta^{\mu\rho}S^{\nu\sigma} + \eta^{\mu\sigma}S^{\nu\rho} - \eta^{\nu\sigma}S^{\mu\rho}= \eta^{\rho[\nu}S^{\mu]\sigma} + \eta^{\sigma [\mu}S^{\nu]\rho}$$

которая является алгеброй Лоренца. В этом можно убедиться, просто воспользовавшись первым коммутатором и правилом для коммутатора, включающим произведение.

---

Существует особенно важное применение коммутатора, а именно определение$\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]$, действие спин-$\frac32$частица задается,

$$\mathcal L = -\frac{1}{2}\bar{\psi}_\mu \left( \varepsilon^{\mu\lambda \sigma \nu} \gamma_5 \gamma_\lambda \partial_\sigma -im\sigma^{\mu\nu}\right)\psi_v,$$

который можно использовать для описания суперпартнера гравитона, а именно гравитино, что делает его необходимым для теорий супергравитации.

ОП написал в комментарии к коммутаторам гамма-матриц: «было бы полезно прояснить обсуждение того, что он представляет. Я где-то читал, что это связано с алгеброй Ли, но что касается дополнительных деталей (например, в деталях, помимо коммутатора) ... не найдя их».

В некотором смысле гамма-матрицы Дирака можно отождествить с взаимно ортогональными единичными векторами (ортами) декартова базиса в пространстве-времени 3+1, с их антикоммутаторами, соответствующими скалярным произведениям ортов (такой подход используется, например, в книге «Теория спиноров» Картана, первооткрывателя спиноров). Тогда ненулевые коммутаторы гамма-матриц (скажем, в виде$\sigma^{\mu\nu}=\frac{1}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$) можно отождествить с так называемыми бивекторами (двумерными плоскостями в пространстве-времени, натянутыми на два орта).

@TheDarkSide спросил, полезен ли где-нибудь коммутатор. Некоторые варианты использования упоминаются в других ответах, но позвольте мне рассказать вам, как это было полезно для меня. Некоторое время назад я показал, что уравнение Дирака (которое представляет собой систему четырех уравнений первого порядка для четырех компонентов спинора Дирака) в целом эквивалентно всего одному уравнению четвертого порядка для одного компонента спинора Дирака ( http:/ /akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf , опубликовано в Журнале математической физики). Недавно я вывел релятивистски-ковариантную форму уравнения (( https://arxiv.org/abs/1502.02351 , уравнение (27)), где интенсивно используется следующая линейная комбинация коммутаторов гамма-матриц:$F=\frac{1}{2}F_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu}$, где$F_{\mu\nu}$это электромагнитное поле.

Приведенные выше ответы хороши, но я удивлен, что никто не упомянул, что коммутатор матриц Дирака требуется в описании ЛЮБОГО фермиона в общем неплоском пространстве. В таком пространстве уравнение Дирака читается (с использованием тетрадной формулировки):

$$\left(i\gamma^{a}e_{a}^{\mu}D_{\mu}-m\right)\psi=0$$

Где:

$$D_{\mu}=\partial_{\mu}-\frac{i}{4}\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}$$

где$\omega$является так называемой спиновой связью и$\sigma$определяется как в ответе JamalS выше. Если вы хотите заняться квантовой механикой с фермионами в искривленном пространстве-времени, вам обязательно понадобится коммутатор матриц Дирака.

Хорошо,

$\gamma^u\gamma^v=-\gamma^v\gamma^u$для$u\neq v$

Поэтому$\gamma^u\gamma^v-\gamma^v\gamma^u=2\gamma^u\gamma ^v$для$u \neq v$