Как связать специальную теорию относительности (СТО) Эйнштейна с общей теорией относительности (ОТО)?

Связь между общей теорией относительности и специальной теорией относительности фундаментальна. Принцип эквивалентности гласит, что в локально свободнопадающей системе координат устраняются эффекты гравитации. Это означает, что в локальной системе координат при свободном падении метрический тензор является тензором специальной теории относительности. Поэтому очень близко к событию (т.е. в конечной окрестности) уравнения общей теории относительности совпадают с sr. Итак, локальная структура пространства-времени минковская. ОТО — это то, как вы собираете локальные карты, чтобы сформировать кривую Римана глобальную структуру пространства-времени. Поэтому существуют локальные преобразования Лоренца, действующие локально в пространственно-временном многообразии. Уравнения поля ОТО связывают локальную структуру (sr вблизи события) с глобальной структурой посредством аффинной связи и спиновой связи. ГР' метрический тензор s локально является тензором Минковского. (Сильный принцип эквивалентности)

Что такое GR-дифференциал$ds2$?

В SR интервал между двумя событиями можно найти, взяв конечные разности:

$s^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2$

Но у нас также есть:

$s^2 = c^2 \tau^2$для$s^2 > 0$

$\tau$есть собственное время, т. е. время, прошедшее по прямой (неускоренной) мировой линии, соединяющей события.

Однако, если вы хотите найти прошедшее время вдоль кривой (ускоренной) мировой линии между событиями, вы должны интегрировать разностный интервал вдоль мировой линии:

$c \tau = \int_P^Q ds$

$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$

В GR мы не только должны использовать дифференциальный интервал (линейный элемент), мы также должны учитывать, что линейный элемент меняется от события к событию:

$ds^2 = g_{00}(dx^0)^2 + g_{11}(dx^1)^2 + g_{22}(dx^2)^2 + g_{33}(dx^3)^2 + 2g_{01}dx^0 dx^1 + 2g_{02}dx^0 dx^2 + 2g_{03}dx^0 dx^3 + 2g_{12}dx^1 dx^2 + 2g_{13}dx^1 dx^3 + 2g_{23}dx^2 dx^3$

Что, используя соглашение о суммировании, гораздо проще записать как:

$ds^2 = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$

The $g_{\mu\nu}$в общем случае являются функциями пространственно-временных координат$x^{\mu}$

Когда s постоянна$ds^2=0$, не правда ли

Вы думаете здесь о производной , а не о дифференциальной . В этом контексте нас интересует нахождение пространственно-временного эквивалента длины в пространстве вдоль пути. Вместо этого подумайте о длине дуги.

Невозможно объяснить GR как расширение SR, или, по крайней мере, никаким полезным способом. Это потому, что фундаментальные принципы GR отличаются от SR.

Однако то, что вы можете сделать, это показать, что SR является подмножеством GR, т.е. что GR сводится к SR, когда плотность энергии низка. Это объясняется в разделе «Сведение общей теории относительности к специальной теории относительности в предельном случае».