Каковы точные аксиомы для однозначного определения метрического тензора Минковского как билинейного отображения?

С точностью до изоморфизмов пространство-время Минковского является реальным четырехмерным аффинным пространством$M^4$снабжен лоренцевым скалярным произведением$g$в векторном пространстве$V^4$трансляций аффинного пространства.

Если$V$— вещественное четырехмерное векторное пространство, лоренцево скалярное произведение — симметричное билинейное отображение$g: V\times V\to \mathbb{R}$чья каноническая форма Сильвестра$\text{diag}(-1,+1,+1,+1)$.

Учитывая реальное четырехмерное векторное пространство$V$и векторный базис$e_1,e_2,e_3,e_4$, существует единственное лоренцево скалярное произведение, матричное представление которого на этой основе имеет вид$\text{diag}(-1,+1,+1,+1)$.

Поэтому для однозначной фиксации лоренцева скалярного произведения достаточно выделить базис и объявить, что скалярное произведение имеет канонический вид в этом базисе.

С другой стороны, если у вас есть скалярное произведение Лоренца, существует бесконечно много оснований, как указано выше. Эти специальные базисы связаны друг с другом преобразованиями группы Лоренца. (Это определение группы Лоренца.)

Позволять$p$быть точкой многообразия. С помощью преобразований координат любой лоренцев метрический тензор можно представить в виде$\text{diag}(-+++)$в$p$по определению. Следовательно, ваших аксиом недостаточно для определения метрики Минковского.

Ссылаться на компоненты тензора не получится, так как они сильно меняются между разными системами координат. Например, в сферических координатах та же метрика Минковского может быть записана как$\text{diag}(-1, 1, r^2, r^2 \sin^2\theta)$. Вместо этого нам нужно предоставить какое-то определение, которое является координатно-инвариантным, чтобы оно выполнялось независимо от конкретной системы координат, с которой мы работаем.

Свойство, которому удовлетворяет только метрика Минковского, состоит в том, что это плоская метрика, т. е. тензор Римана , связанный с ее связностью Леви-Чивиты, обращается в нуль. Это свойство, если добавить его к упомянутым вами, однозначно характеризует метрику Минковского.

Короче говоря, метрика Минковского — единственная плоская лоренцева метрика. Обратите внимание, что этого недостаточно, чтобы охарактеризовать все многообразие как пространство-время Минковского: пространство-время Минковского топологически$\mathbb{R}^4$, но можно иметь плоское пространство-время с топологией с четырьмя торами, например (а именно, пространство похоже на мир Пакмана, в котором вы выходите с одного конца и возвращаетесь с другой стороны, и то же самое верно для времени).

Учитывая невырожденную, симметричную, билинейную форму над касательным пространством, выраженную как$g_{μν} = g(∂_μ, ∂_ν)$или, что то же самое, как тензор$g = g_{μν} dx^μ ⊗ dx^ν$(используется соглашение о суммировании), где$\{x^μ: μ = 0, 1, ..., N\}$- координаты (по крайней мере, локально) и$∂_μ = ∂/∂x^μ$операторы в частных производных, составляющие касательный репер, накладывают следующие дополнительные условия, выраженные через производные Ли$ℒ_X$некоторых векторных полей$X$:

(1) Однородность:$ℒ_{∂_ρ} g = 0$, для всех$ρ = 0, 1, ..., N$,

(2) N+1-изотропия:$ℒ_{x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ} g = 0$, для всех$ρ, σ = 0, 1, ..., N$(без ограничения общности можно принять$ρ ≠ σ$или даже$ρ < σ$); где$x_0 = x^0$и$x_i = -x^i$, для$i = 1, 2, ..., N$. Это дает вам настоящую пространственную изотропию по отношению к пространственно-подобным измерениям.$1, 2, ..., N$и неускоряемость (за неимением лучшего термина) по отношению к смешанным комбинациям времениподобного измерения$0$с каждым пространственным измерением.

Тогда метрика является метрикой Минковского (с точностью до ненулевого постоянного кратного), если$N > 1$.

(Метрика Минковского$η = η_{ρσ} dx^ρ ⊗ dx^σ$подкрадывается к условиям как постоянная диагональная матрица$(+1,-1,-1,-1)$коэффициентов в$x_ρ = η_{ρσ} x^σ$. Нет спасения$η$.)

Для$N = 3$и 3 + 1 измерения, 10 векторов Ли в трехмерной векторной записи:

$${∂ \over ∂t},$$ $$∇ = \left({∂ \over ∂x}, {∂ \over ∂y}, {∂ \over ∂z}\right),$$ $$𝐫×∇ = \left(y {∂ \over ∂z} - z {∂ \over ∂y}, z {∂ \over ∂x} - x {∂ \over ∂z}, x {∂ \over ∂y} - y {∂ \over ∂x}\right),$$ $$t∇ + 𝐫 {∂ \over ∂t} = \left(t {∂ \over ∂x} + x {∂ \over ∂t}, t {∂ \over ∂y} + y {∂ \over ∂t}, t {∂ \over ∂z} + z {∂ \over ∂t}\right),$$ где$t = x^0$и$𝐫 = \left(x, y, z\right) = \left(x^1, x^2, x^3\right)$. Четыре набора векторов Ли предназначены соответственно для стационарности , пространственной однородности , пространственной изотропии и неускоряемости . Метрика должна быть стационарной, пространственно однородной, изотропной и неускоряющейся (из-за отсутствия лучшего термина).

Сначала делаем (1). С

$$ℒ_{∂_ρ} dx^μ = ∂_ρ ˩ ddx^μ + d(∂_ρ ˩ dx^μ) = ∂_μ ˩ 0 + d(δ_ρ^μ) = 0,$$ и$ℒ_{∂_ρ} g_{μν} = ∂_ρ g_{μν}$, затем используя правило произведения для$ℒ_{∂_ρ}$, у нас есть: $$0 = ℒ_{∂_ρ} g_{μν} dx^μ ⊗ dx^ν = \left(∂_ρ g_{μν}\right) dx^μ ⊗ dx^ν + g_{μν} (0) ⊗ dx^ν + dx^μ ⊗ (0) = ∂_ρ g_{μν} dx^μ ⊗ dx^ν,$$ из чего следует, что$∂_ρ g_{μν} = 0$или что компоненты$g_{μν}$все постоянные.

Во-вторых, мы делаем (2). В общем

$$ℒ_X dx^μ = X ˩ ddx^μ + d(X ˩ dx^μ) = ∂_μ ˩ 0 + dX^μ = dX^μ,$$ Таким образом, для$X = x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ$, у нас есть$X^μ = x_σ δ_ρ^μ - x_ρ δ_σ^μ$и поэтому: $$ℒ_{x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ} dx^μ = d\left(x_σ δ_ρ^μ - x_ρ δ_σ^μ\right) = δ_ρ^μ dx_σ - δ_σ^μ dx_ρ.$$ Кроме того, поскольку компоненты$g_{μν}$постоянны, то имеем$ℒ_X g_{μν} = X^ρ ∂_ρ g_{μν} = 0$, независимо от того, что$X$является. Таким образом, используя правило произведения, мы снова имеем: $$0 = ℒ_{x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ} g = (0) dx^μ ⊗ dx^ν + g_{μν} \left(δ_ρ^μ dx_σ - δ_σ^μ dx_ρ\right) ⊗ dx^ν + g_{μν} dx^μ ⊗ \left(δ_ρ^ν dx_σ - δ_σ^ν dx_ρ\right),$$ или $$0 = g_{ρν} dx_σ ⊗ dx^ν - g_{σν} dx_ρ ⊗ dx^ν + g_{μρ} dx^μ ⊗ dx_σ - g_{μσ} dx^μ ⊗ dx_ρ,$$ или покомпонентно, используя симметрию$η$и (предполагаемая) симметрия$g$поменять местами индексы: $$0 = g_{νρ} η_{μσ} - g_{νσ} η_{μρ} + g_{μρ} η_{νσ} - g_{μσ} η_{νρ}.$$

Это условие тривиально, если$ρ = σ$или$μ = ν$; особенно, если$N = 0$. Если$N = 1$, то без ограничения общности можно было бы взять$(ρ,σ) = (0,1) = (μ,ν)$и написать

$$0 = g_{10} (0) - g_{11} (-1) + g_{00} (+1) - g_{01} (0) = g_{00} + g_{11}.$$ Это лучшее, что вы можете сделать. Метрика образует постоянную симметричную бесследовую$2×2$матрица.

Если$N > 1$, выберите любой$μ$,$ρ ≠ μ$и$σ = ν ≠ μ, ρ$. Тогда у нас есть:

$$0 = g_{νρ} (0) - g_{νσ} (0) + g_{μρ} η_{νσ} - g_{μσ} (0) = ±g_{μρ}.$$ Таким образом,$g_{μρ} ≠ 0$для$ρ ≠ μ$и$g$образует диагональную матрицу. Далее выбираем любой$ρ = μ$и$σ = ν ≠ μ, ρ$. Тогда у нас есть: $$0 = g_{νρ} (0) - g_{νσ} η_{μρ} + g_{μρ} η_{νσ} - g_{μσ} (0) = -g_{νσ} η_{μρ} + g_{μρ} η_{νσ}.$$ Отсюда следует, что$g_{μρ}/η_{μp} = g_{νσ}/η_{νσ}$. Поэтому,$g$является постоянным кратным метрики Минковского$η$. С$g$предполагается невырожденным, постоянное кратное должно быть ненулевым. В противном случае, если он вырожден, постоянное кратное равно 0, а затем$g$должен быть равен 0 и полностью вырожден.

Да, этого достаточно.

Однако, чтобы быть педантичным, метрика всегда имеет положительно определенную сигнатуру, также известную как (+,+,+, ..,+), в то время как полуметрика может иметь произвольную сигнатуру. Многообразие с метрикой называется римановым многообразием, а многообразие с полуметрикой называется полуримановым многообразием. Часто квалификатор «псевдо» используется вместо «полу», но я предпочитаю не использовать его, поскольку общепринятое понимание псевдо означает ложное или фальшивое. Лоренцево многообразие — это полуриманово многообразие с сигнатурой (-+++...+) или (+----...-), и это то, что вам нужно. Пространство Минковского — это просто плоское четырехмерное лоренцево многообразие.