Как вес твердого тела может воздействовать на него, чтобы заставить его вращаться?

Важно иметь в виду, что здесь интерес представляют три различные сохраняющиеся величины: линейный импульс, угловой момент и энергия. Кинетическая энергия вращения сама по себе не является сохраняющейся величиной.

Каждая из сохраняемых величин имеет соответствующую скорость изменения или «поток». Скорость изменения линейного количества движения — это сила, скорость изменения углового момента — это крутящий момент, а скорость изменения энергии — это мощность.

Каждое взаимодействие может производить все три: силу, крутящий момент и мощность. Нет необходимости, чтобы сила, создающая крутящий момент, также создавала мощность.

Для диска, катящегося без проскальзывания, возможны два взаимодействия: гравитационное взаимодействие и фрикционное взаимодействие. В предположении отсутствия диссипации несложно показать, что изменение линейного количества движения равно сумме сил трения и силы тяжести, что изменение углового момента (относительно центра масс) равно крутящему моменту от трения только, и что изменение энергии равно силе только от силы тяжести.

Неверно полагать, что крутящий момент должен обеспечивать какую-либо энергию. Это не. Он обеспечивает только угловой момент. Только мощность дает энергию, и она полностью исходит от гравитационного взаимодействия. Фрикционное взаимодействие обеспечивает крутящий момент. Он не обеспечивает мощность, хотя обеспечивает ограничение, которое разделяет мощность на вращательную и поступательную КЭ. Обеспечение такого ограничения само по себе не требует энергии.

Для силы трения$\vec F_{fric}$, работа трения при плоском движении равна$\int \vec F_{fric} \cdot\vec vdt$+$\int \vec \tau_{fric} \cdot\vec \omega dt$где$\vec v$- скорость ЦМ,$\vec \tau_{fric}$- крутящий момент относительно ЦМ из-за силы трения, а$\vec \omega$– угловая скорость относительно ЦМ. Работа, совершаемая трением, имеет два члена: работа, совершаемая трением на ЦМ,$\int \vec F_{fric} \cdot\vec vdt$, а работа трения по ЦМ ,$\int \vec \tau_{fric} \cdot\vec \omega dt$. В некоторых ситуациях сумма этих двух членов равна нулю, и трение не работает (например, качение без проскальзывания), в то время как в других ситуациях сумма этих двух членов не равна нулю, и трение работает (например, проскальзывание). См. «Последовательный подход к расчету работы трения для твердого тела в плоском движении».

Я запутался в происхождении кинетической энергии вращения цилиндра. Так как трение покоя и нормальная сила приложены в точке контакта с плоскостью, ни одна из них не может совершать работу над цилиндром (поэтому его механическая энергия сохраняется), так как цилиндр в силу ограничений не скользит. Это, по-видимому, означает, что кинетическая энергия вращения цилиндра исходит из работы, выполняемой его весом.

Проще говоря, кинетическая энергия вращения возникает в результате разделения начальной гравитационной потенциальной энергии на поступательную кинетическую энергию плюс вращательную кинетическую энергию, а не просто преобразование в поступательную кинетическую энергию, как в случае чистого скольжения. Кинетическая энергия вращения обусловлена ​​чистым крутящим моментом вокруг центра масс (ЦМ) цилиндра, создаваемым силой трения покоя.

Рассмотрим следующее:

1. Без статического трения цилиндр скользил бы по наклонной плоскости, не вращаясь. Тогда его кинетическая энергия будет строго поступательной кинетической энергией его центра масс (ЦМ), и вы получите

Где$h$будет вертикальным расстоянием, пройденным КМ, и$v_{cm}$- скорость ЦМ в нижней части склона.

Что даст вам конечную скорость для скольжения без вращения

2. При статическом трении и отсутствии скольжения статическое трение вызывает крутящий момент вокруг ЦМ и, таким образом, вращение вокруг ЦМ в дополнение к поступательному перемещению ЦМ. Теперь начальная потенциальная энергия делится на поступательную и вращательную кинетическую энергию и равна сумме поступательной и вращательной кинетической энергии цилиндра в нижней части наклона, или

Где$I$- момент инерции цилиндра и$\omega$- его угловая скорость. Для сплошного цилиндра радиусом$r$,

и

Подставив два последних уравнения в предыдущее, получим

Обратите внимание, что скорость (и поступательная кинетическая энергия) центра масс вращающегося цилиндра в нижней части склона меньше, чем скорость (и поступательная кинетическая энергия) цилиндра, который скользит вниз по склону без вращения из-за отсутствия статического электричества. трение. Это должно быть так, потому что начальная гравитационная потенциальная энергия делится на поступательную и вращательную кинетическую энергию.

Бесплатных обедов не бывает!

Но я все еще немного смущен этим. Поскольку кинетическая энергия вращения цилиндра исходит из потенциальной гравитационной энергии, которой он обладал в верхней части плоскости, должно быть так, что его вес совершает работу, заставляющую вращаться. Но я не понимаю, как это может произойти, ведь вес не имеет вращающего момента вокруг центра масс.

Именно сила трения покоя вызывает крутящий момент вокруг ЦМ, а не вес. Крутящий момент$\tau$вызванная силой трения покоя$F_s$где радиус цилиндра$r$является

Вес ограничивает максимально возможную силу статического трения. Если максимальная сила статического трения превышена, цилиндр начнет скользить.

Максимально возможная сила статического трения равна

Где$\theta$угол наклона и$\mu$- коэффициент статического трения. Чтобы цилиндр катился без скольжения,

Ниже я включил диаграммы свободного тела цилиндра, скользящего без качения и качения без скольжения.

Надеюсь это поможет.

Путаница, я полагаю, из-за статического трения, действующего на цилиндр. Поскольку здесь действует не кинетическое трение, общая формула$f=\mu N$признается недействительным. Следует отметить, что трение является единственной силой, которая обеспечивает крутящий момент для вращения цилиндра, а не просто скольжения, как в вашем втором случае, когда цилиндр расположен на наклонной поверхности без трения.

Учитывая ваш первый пример, диаграмма свободного тела предполагает, что$mgsin\theta-f=ma$(здесь f — сила трения, действующая на цилиндр, m — масса цилиндра, a — чистое ускорение, а$\theta$угол наклона)

Из отношения чистого крутящего момента к угловому ускорению,$\tau=I\alpha$ $\Rightarrow Rf=\frac{MR^{2}}{2}\times \frac{a}{R}$(где I — момент инерции сплошного цилиндра ($MR^{2}/2$в этом случае) R — радиус цилиндра, а$\alpha$угловое ускорение цилиндра)

Решая эти уравнения, получаем,$f=\frac{mg}{2}$а не mg , результат, который мы получили бы, если бы просто заменили напрямую$f=\mu N$

Подводя итог, можно сказать, что благодаря крутящему моменту, действующему на цилиндр силой трения, цилиндр приобретает некоторую кинетическую энергию вращения.