Трек работает? (вторая попытка) [дубликат]

Question

Трек работает? (вторая попытка) [дубликат]

Эрик Дэвид Крамер

Когда мяч катится, не скользя по дорожке, создается впечатление, что статическое трение от дорожки совершает вращательную работу с мячом. Как объясняется в этом посте: выполняется ли работа при трении качения? , эта работа точно такая же, как работа силы тяжести вокруг точки вращения. Но разве гусеница не должна также выполнять линейную (т.е. поступательную, а не вращательную) работу с мячом? Ведь мяч движется.

(Тот факт, что точка вращения не движется, не кажется достаточным объяснением, потому что $F=ma$ верна и, следовательно, должна быть верна теорема о работе-энергии для смещения мяча.)

грабить

Привет! Пожалуйста, не обходите систему закрытия вопросов, удаляя и публикуя повторно. Обратитесь в справочный центр за советом о повторном открытии закрытого вопроса.

Ответы (3)

Трек работает? (вторая попытка) [дубликат]

Привет! Пожалуйста, не обходите систему закрытия вопросов, удаляя и публикуя повторно. Обратитесь в справочный центр за советом о повторном открытии закрытого вопроса.

Джон Хантер · Answer 1

Но разве гусеница не должна также выполнять линейную (т.е. поступательную, а не вращательную) работу с мячом? Ведь мяч движется.

когда брусок скользит по склону, сила трения $F$ работает и замедляет блок. Над бруском совершается работа, потому что сила действует параллельно скорости.

Для мяча верно, что он движется вниз по склону, $v_1$ , но суть $P$ где действует трение, движется перпендикулярно силе в направлении $v_3$ .

Смысл $P$ движется в форме циклоиды и движется перпендикулярно поверхности при контакте с ней (например, при $2\pi a$ )

Формула выполненной работы: $W= Fd\cos\theta$ , где $\theta$ - это угол между силой и пройденным расстоянием, поэтому (в идеале) работа над катящимся шаром не совершается за счет трения.

Хороший ответ! Но разве теорема о работе-энергии не должна быть справедливой для шара в целом, а не только для точки контакта?
Просто чтобы все испортить: катящийся шар ускоряется меньше, чем если бы не было трения, потому что, конечно, он не катился бы. Это потому, что потенциальная энергия (с высоты) не перекачивается во вращательную энергию и т. д.
@ Эрик Дэвид Крамер Да, как говорит Карл, общая сила вниз по склону уменьшается из-за трения, поэтому ускорение меньше, чем у скользящего мяча. «Проделанная работа» просто происходит из-за потери гравитационной потенциальной энергии, может возникнуть меньшая поступательная скорость / энергия, поскольку также создается вращательная кинетическая энергия.

Дол · Answer 2

Дол

Это очень (излишне) запутанная тема, которую по какой-то причине часто преподают неправильно.

Мощность конкретной силы определяется выражением $P=\vec F \cdot \vec v$ где $\vec v$ - скорость материала в точке приложения $\vec F$ . Это простое определение работает для любой механической силы в любом классическом механическом сценарии. Тогда работа, совершаемая этой силой, равна просто $W=\int P \ dt$ .

Теперь, специально для этого сценария, когда мяч катится без скольжения по склону, действуют три силы: нормальная сила, сила трения и сила гравитации.

К точке контакта приложены нормальная сила и сила трения. Точка контакта движется, но скорость материала в точке контакта равна 0. Точка контакта не является объектом, поэтому ее движение не имеет значения. Важным является движение материала в точке контакта, т. $\vec v=0$ . Итак, тогда $P=0$ и $W=0$ как для нормальной силы, так и для силы трения.

Сила гравитации, напротив, приложена к центру масс. Центр масс движется ненулевой $\vec v$ и $\vec F$ не перпендикулярна, поэтому $P=\vec F \cdot \vec v = F v \ \sin(\theta)$ . Таким образом, вся работа совершается под действием силы тяжести. Единственным источником кинетической энергии, как линейной, так и вращательной, является уменьшение PE от силы тяжести.

Хотя сила трения обеспечивает крутящий момент, она не дает энергии. Это имеет смысл, потому что сила трения не имеет связанной потенциальной энергии. Сила трения действительно преобразует часть гравитационного PE во вращательную KE, но не совершает никакой работы. Энергия исходит только от гравитации.

Это никоим образом не противоречит теореме об энергии работы. Чистая сила по-прежнему связана с изменением поступательного KE, как указано в теореме. Теорема об энергии работы говорит вам только о чистой силе и изменении поступательного KE. Оно ничего не говорит вам о работе, совершаемой какой-либо отдельной силой, даже если имеется только одна сила. Любая попытка использовать теорему о работе энергии для вывода работы, совершаемой отдельной силой, является неправильным использованием теоремы.

Эрик Дэвид Крамер

В конце своего поста вы говорите, что теорема о работе и энергии должна оставаться в силе. Для мяча, катящегося без скольжения по склону, крутящий момент от силы тяжести вокруг точки вращения равен

m g R \sin θ

$mgR\sin\theta$ . Я думаю, что это должно быть равно моменту силы трения вокруг центра сферы? В этом случае сила трения должна быть равна

m g \sin θ

$mg\sin\theta$ . Если мяч катится по длине

L

$L$ , то работа трения должна быть

- m g \sin θ L = - m g h

$-mg\sin\theta L=-mgh$ . Если работа силы тяжести

+ m g h

$+mgh$ , то это означает, что общая работа равна нулю. Это не кажется правильным...

Эрик Дэвид Крамер

Подождите, я ошибаюсь! Крутящие моменты не равны. Один из них должен быть равен

I α

$I\alpha$ а другой к

(m R^{2} + I) α

$(mR^2+I)\alpha$ по теореме о параллельных осях. При этом сила трения должна быть меньше

m g \sin θ

$mg\sin\theta$ . Сила трения будет выполнять отрицательную работу, а общая работа будет конечной (линейной) кинетической энергией мяча, и это ответ! Теорема об энергии работы из

F = m a

$F=ma$ только для линейного движения!

Дол

@EricDavidKramer, как объяснялось выше, очень ясно, что работа, выполняемая трением, равна 0. Нет никакой двусмысленности или амбивалентности. Это 0. То, что он создает крутящий момент, не означает, что он работает. Он не выполняет негативной или позитивной работы. Это 0 работает. Вы правы в том, что теорема об энергии работы описывает только поступательную КЭ,

Эрик Дэвид Крамер

Извините, я не согласен с тем, что вы говорите.

Эрик Дэвид Крамер

\sum {\vec{F}}_{b a l l} = m {\vec{a}}_{C M, b a l l}

$\sum \vec{F}_{\rm ball} = m \vec{a}_{\rm CM, ball}$ . Интегрировать с

{\vec{r}}_{b a l l}

$\vec{r}_{\rm ball}$ и получить

\int \sum {\vec{F}}_{b a l l} \cdot d {\vec{r}}_{C M, b a l l} = \frac{1}{2} m {\vec{v}}_{C M, b a l l, f}^{2} - \frac{1}{2} m {\vec{v}}_{C M, b a l l, i}^{2}

$\int\!\sum \vec{F}_{\rm ball} \cdot d\vec{r}_{\rm CM, ball} = \frac12 m \vec{v}_{\rm CM, ball, f}^2-\frac12 m \vec{v}^2_{\rm CM, ball, i}$ . Это математический факт. И

\sum {\vec{F}}_{b a l l}

$\sum \vec{F}_{\rm ball}$ включает трение покоя и смещение центра масс

d {\vec{r}}_{C M, b a l l}

$d\vec{r}_{\rm CM, ball}$ не равно нулю. Может быть, мы просто спорим о номенклатуре.

Дол

Это не вопрос мнения. То, что вы говорите, на самом деле неверно. Сила трения не совершает никакой работы, и неправильно использовать теорему о работе энергии, если когда-либо пытаться использовать ее для определения работы, совершаемой отдельной силой. Чистая сила действительно включает силу трения, но теорема о работе энергии никогда ничего не говорит вам о работе отдельной силы. Даже в том случае, когда на систему действует только одна сила.

Дол

Слушайте, это не ваша вина, что теорему о работе и энергии преподают так плохо. И не ваша вина, что формуле механической силы не уделяется особое внимание в учебной программе. Но как физик с начала 2000-х и преподаватель физики в течение последних нескольких лет, я прямо говорю вам, что вы ошибаетесь.

Эрик Дэвид Крамер

Я рад за вас, что вы преподаватель физики, но я хотел бы, чтобы вы сказали мне, что не так с моим расчетом. Я сделал интеграл работы на

\sum F = m a_{C M}

$\sum F = ma_{CM}$ . Работа силы тяжести равна

m g h

$mgh$ , и

Δ \frac{1}{2} m v_{C M}^{2}

$\Delta \frac12 m v^2_{CM}$ меньше чем

m g h

$mgh$ . Почему

\int F_{g} d x_{C M}

$\int\! F_g dx_{CM}$ не равно

Δ \frac{1}{2} m v_{C M}^{2}

$\Delta \frac12 m v^2_{CM}$ ?

Дол

Ваши расчеты в порядке. Физика — это больше, чем просто расчеты. Также нужно понимать смысл расчета. В этом случае интеграл чистой силы по расстоянию, иногда ошибочно называемый «работой сети», дает ТОЛЬКО изменение поступательного KE. Он не предоставляет никакой дополнительной информации. В частности, это ничего не говорит вам о работе силы тяжести. Причина, по которой

\int F_{g} d x_{C M} \neq Δ \frac{1}{2} m v_{C M}^{2}

$\int F_g dx_{CM} \ne \Delta \frac{1}{2}mv^2_{CM}$ это потому, что они совершенно несвязанные величины, которые не имеют ничего общего друг с другом

Эрик Дэвид Крамер

Я понимаю. Так правильно ли говорить

\int F_{g} d x_{C M} = Δ \frac{1}{2} m v_{C M}^{2} + \int f_{s} d x_{C M}

$\int F_g dx_{CM} = \Delta \frac12 m v_{CM}^2 + \int f_s dx_{CM}$ , где

f_{s}

$f_s$ статическое трение?

Дол

Да это верно. Однако,

\int f_{s} d x_{C M}

$\int f_s dx_{CM}$ это не работа силы трения. То есть

\int {\vec{f}}_{s} \cdot \vec{v} d t = 0

$\int \vec f_s \cdot \vec v \ dt =0$ . Сила трения не приложена к центру масс.

Эрик Дэвид Крамер

Хорошо, я думаю, что теперь понял, спасибо. Ваши объяснения были полезны. На самом деле я хотел спросить,

\int {\vec{f}}_{s} \cdot {\vec{v}}_{C M} d t

$\int \vec{f}_s\cdot \vec{v}_{CM} dt$ не равно нулю. И это. Извините за слово "работа". Может быть, мы должны дать ему новое имя. "Шмерк". Шмерк, создаваемый трением покоя, не равен нулю. Мне нравится, что.

Эрик Дэвид Крамер

Я только что нашел объяснение этому у Клеппнера и Коленкова, пример 6.17 (стр. 268). Их точка зрения кажется чем-то средним между вашей и моей.

Эрик Дэвид Крамер · Answer 3

Эрик Дэвид Крамер

Да, трек работает. Можно убедиться, что конечная скорость мяча меньше $\sqrt{2gh}$ . Это связано с тем, что сила трения совершала отрицательную работу.

Это именно то, о чем говорит теорема о работе-энергии: сумма сил, действующих на объект, умноженная на смещение центра масс объекта, равна изменению $\frac12 mv^2$ , где $v$ - скорость центра масс объекта. Именно это и происходит здесь. Сила трения покоя действует против движения мяча и уменьшает его конечную линейную кинетическую энергию.

Что касается сохранения энергии, то работа силы трения в точности равна конечной кинетической энергии вращения мяча. Полное изменение кинетической энергии (линейное плюс вращательное) действительно равно $mgh$ . Так что все довольные идут домой :).

Джон Хантер

Да и нет, это правда, что результирующая линейная сила вниз по склону равна

m g \sin θ - F

$mg\sin\theta - F$ поэтому линейная кинетическая энергия равна

(m g \sin θ - F) d = m g h - F d

$(mg\sin\theta - F)d = mgh - Fd$ , так что в этом смысле теорема о работе-энергии верна. Однако утверждение о том, что сила трения совершает отрицательную работу, кажется неверным. Создаваемый вращательный КЭ аналогичен Fd, но

T α

$T\alpha$ где

T

$T$ крутящий момент части груза, не вызывающей линейного ускорения, т.е.

T = (m g \sin θ - (m g \sin θ - F)) \times r = F r

$T = (mg\sin\theta - (mg\sin\theta - F)) \times r = Fr$ , так

T α

$T\alpha$ вращательный KE из-за веса

F r \times d / r = F d

$Fr\times d/r = Fd$ , численно то же самое, но от гравитации.

Дол

Трек не работает. Энергия трека не меняется. Если бы дорожка выполняла отрицательную работу без получения энергии, то энергия не сохранялась бы. Он волшебным образом исчезнет.

Эрик Дэвид Крамер

Трек, конечно, получает энергию, но он бесконечно массивен, поэтому изменение скорости равно нулю.

Дол

@EricDavidKramer это не так. Чтобы увидеть это явно, пусть трек имеет массу

M

$M$ . Сделайте расчет, а затем возьмите предел, когда M стремится к бесконечности. Энергия равна нулю. Однако даже при конечном M энергия, полученная дорожкой, не равна той сумме, которую вы ложно утверждаете. Таким образом, ваше объяснение не работает даже для рампы с конечной массой.

Джон Хантер

@ Дейл, Эрик, Дейл прав. Вы можете представить отражение дорожки, соединенной с оригиналом, и два шара, катящихся вниз, по одному с каждой стороны. Любые силы, воздействующие на гусеницы, уравновешиваются, поэтому, если дорожки получают энергию от шаров, она должна быть в виде тепла. Скользящая масса нагревает гусеницу, а катящийся шар — нет. KE не так высок просто потому, что потеря GPE распределяется между поступательным движением и вращательным KE. Вращательный KE должен быть создан для того, чтобы мяч катился, в этом роль играет трение, оно делает GPE неспособным полностью превратиться в поступательное. КЭ

Карл Виттофт

@Dale Если вы используете закон сохранения импульса, Земля (включая наклонную плоскость) движется в обратном направлении, чтобы соответствовать импульсу мяча. Но я согласен, что эту работу выполняет не сила трения.

РВ Берд

По закону сохранения энергии: mgh = (1/2)m

v^{2}

$v^2$ + (1/2) я

ω^{2}

$ω^2$ где ω = v/r.

Эрик Дэвид Крамер

ОК, беру свои слова назад, трек не набирает энергию, извините. Но разве сила трения не может по-прежнему совершать отрицательную работу над центром масс (ЦМ)? Так и должно быть, потому что сила трения ускоряет ЦМ в соответствии со 2-м законом Ньютона. Интегрировать второй закон Ньютона по

{\vec{r}}_{C M}

$\vec{r}_{CM}$ и вы получаете:

\int m a_{C M} d x_{C M} = \int m \frac{d v_{C M}}{d t} v_{C M} d t = Δ \frac{1}{2} m v_{C M}^{2}

$\int m a_{CM} dx_{CM} = \int m \frac{dv_{CM}}{dt}v_{CM}dt = \Delta \frac12 m v_{CM}^2$ . Может быть, неправильно говорить, что трек действительно работает. Сила работает. Сила трения движется, но не гусеница.

Эрик Дэвид Крамер

Я вижу, что Джон Хантер ответил на мой вопрос в своем комментарии. Я почему-то это пропустил. @JohnHunter Спасибо!