Путаница с примером в лекциях Фейнмана

Question

Путаница с примером в лекциях Фейнмана

Омар Нагиб

В «Лекциях Фейнмана» в главе, озаглавленной «Работа и потенциальная энергия» , Фейнман утверждает:

Работа, совершаемая при обходе любой траектории в гравитационном поле, равна нулю. Это очень замечательный результат. Это говорит нам то, чего мы раньше не знали о движении планет. Он говорит нам, что когда планета движется вокруг Солнца (без каких-либо других объектов вокруг, без каких-либо других сил), она движется таким образом, что квадрат скорости в любой точке за вычетом некоторых констант, деленный на радиус в этой точке, всегда равен одинаково во всех точках орбиты. Например, чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется, но насколько? Следующей величиной: если вместо того, чтобы позволить планете вращаться вокруг Солнца, мы изменим направление (но не величину) ее скорости и заставим ее двигаться радиально, а затем позволим ей упасть с некоторого особого радиуса на радиус представляет интерес, новая скорость будет такой же, как скорость на реальной орбите, потому что это просто еще один пример сложного пути. Пока мы возвращаемся на то же расстояние, кинетическая энергия остается неизменной.

Я это понимаю $\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=\text{constant}$ на закрытом пути. Однако я совершенно не могу представить пример планеты, о которой говорит Фейнман.

Итак, когда он говорит, сделайте направление скорости радиальным, это радиально внутрь или наружу?

И я не могу сформировать мысленную картину формы пути, который он описывает, и как он закрыт?

В общем, я в замешательстве, кто-нибудь может мне его распаковать?

Джон

Меня все еще смущает то, что он имеет в виду под «На следующую сумму:», а затем он идет дальше и иллюстрирует, как скорость зависит только от радиуса. Но ответит ли он когда-нибудь на свой вопрос:

E = T + V = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M m}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2 E}{m} + \frac{2 G M}{r}}

$E = T + V = \frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}\Rightarrow v = \sqrt{\frac{2E}{m}+\frac{2GM}{r}}$

Ответы (4)

Путаница с примером в лекциях Фейнмана

Меня все еще смущает то, что он имеет в виду под «На следующую сумму:», а затем он идет дальше и иллюстрирует, как скорость зависит только от радиуса. Но ответит ли он когда-нибудь на свой вопрос: $E = T + V = \frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}\Rightarrow v = \sqrt{\frac{2E}{m}+\frac{2GM}{r}}$

пользователь82794 · Answer 1

РАЗДЕЛ A: Пример из лекций Фейнмана

введите описание изображения здесь

Пусть тело P (планета, частица или что-то еще), движущееся по орбите вокруг центра притяжения, называемого $\:\rm{SUN}$ , как на приведенном выше рисунке. Предположим, что сила притяжения $\:\mathbf{f}\left(r\right)\:$ постоянно зависит только от расстояния $\:r\:$ тела P из центра $\:\rm{SUN}$ . Здесь нет необходимости, чтобы эта сила подчинялась закону обратных квадратов или была какой-то специальной функцией $\:r\:$ . Другими словами, мы бы сказали, что $\:\mathbf{f}\left(r\right)\:$ что-то вроде этого

\begin{matrix} (01) & ф (р) "=" - ф (р) \frac{р}{р} "=" - ф (р) н_{р} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{f}\left(r\right)=\;-\;f\left(r\right)\dfrac{\mathbf{r}}{r}=\;-\;f\left(r\right)\mathbf{n}_{r} \tag{01} \end{equation}$ где

f (r) (> 0)

$\:f\left(r\right)\left(>0\right)$ величина

f (r)

$\:\mathbf{f}\left(r\right)\:$ , непрерывный и интегрируемый, и

n_{r}

$\:\mathbf{n}_{r}\:$ единичный вектор вдоль

r

$\:\mathbf{r}\:$ . В случае гравитации Ньютона или электростатической силы Кулона

\begin{matrix} (02) & ф (р) "=" \frac{С}{р^{2}}, С "=" положительный реальный \end{matrix}

$\begin{equation} f\left(r\right)= \dfrac{C}{r^{2}} \;, \quad C=\text{positive real} \tag{02} \end{equation}$ Теперь пусть тело

P

$\:\rm{P}\:$ , двигаясь по своей орбите, находится в момент времени в точке

P_{1}

$\:\rm{P}_{1}\:$ со скоростью

v_{1}

$\:\mathbf{v}_{1}\:$ и на расстоянии

r_{1}

$\:r_{1}\:$ . Позже на теле

P

$\:\rm{P}\:$ находится на своей орбите в точке

P_{2}

$\:\rm{P}_{2}\:$ со скоростью

v_{2}

$\:\mathbf{v}_{2}\:$ большего размера и на меньшем расстоянии

r_{2}

$\:r_{2}\:$ .

Двойное тело $\:\rm{P}^{\boldsymbol{\prime}}\:$ , точная копия $\:\rm{P}\:$ , начинается с $\:\rm{P}_{1}\:$ на этом же расстоянии $\:r_{1}\:$ со скоростью $\:\mathbf{w}_{1}\:$ , равный $\:\mathbf{v}_{1}\:$ величина ( $\:{w}_{1}=\Vert\mathbf{w}_{1}\Vert=\Vert\mathbf{v}_{1}\Vert={v}_{1}\:$ ), путешествуя радиально и достигая точки $\:\rm{P}_{2}^{\boldsymbol{\prime}}\:$ со скоростью $\:\mathbf{w}_{2}\:$ на этом же расстоянии $\:r_{2}\:$ . Результат, который необходимо доказать, состоит в том, что скорость $\:\mathbf{w}_{2}\:$ имеет равную величину с $\:\mathbf{v}_{2}\:$ : $\:{w}_{2}=\Vert\mathbf{w}_{2}\Vert=\Vert\mathbf{v}_{2}\Vert={v}_{2}\:$ .

Применим известный принцип:

\begin{matrix} (03) & Изменение кинетической энергии = работа сил \end{matrix}

$\begin{equation} \textbf{Change of kinetic energy = Work done by forces} \tag{03} \end{equation}$

Для тела $\:\rm{P}\:$ на своей орбите между точками $\:\rm{P}_{1}\:$ и $\:\rm{P}_{2}\:$ вышеуказанный принцип дает

\begin{matrix} (04) & \frac{1}{2} м (в_{2}^{2} - в_{1}^{2}) "=" \int_{п_{1}}^{п_{2}} ф (р) \circ г р "=" \int_{п_{1}}^{п_{2}} [- ф (р) \frac{р}{р}] \circ г р "=" - \int_{р_{1}}^{р_{2}} ф (р) г р \end{matrix}

$\begin{equation} \tfrac{1}{2}m\left( v_{2}^{2}- v_{1}^{2}\right)=\int_{\rm{P}_{1}}^{\rm{P}_{2}}\mathbf{f}\left(r\right)\circ d\mathbf{r}=\int_{\rm{P}_{1}}^{\rm{P}_{2}}\left[\;-\;f\left(r\right)\dfrac{\mathbf{r}}{r}\right]\circ d\mathbf{r}= - \int_{r_{1}}^{r_{2}}f\left(r\right)dr \tag{04} \end{equation}$

В последнем правом равенстве воспользуемся тем, что

\begin{matrix} (05) & р \circ г р "=" \frac{1}{2} г (р \circ р) "=" \frac{1}{2} г (‖ р ‖^{2}) "=" \frac{1}{2} г (р^{2}) "=" р г р \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{r}\circ d\mathbf{r}= \tfrac{1}{2}d\left(\mathbf{r}\circ \mathbf{r} \right)=\tfrac{1}{2}d\left(\Vert\mathbf{r}\Vert^{2}\right)=\tfrac{1}{2}d\left(r^{2}\right)= r dr \tag{05} \end{equation}$

Так,

\begin{matrix} (06) & \frac{1}{2} м (в_{2}^{2} - в_{1}^{2}) "=" - \int_{р_{1}}^{р_{2}} ф (р) г р "=" - [Φ (р_{2}) - Φ (р_{1})] \end{matrix}

$\begin{equation} \tfrac{1}{2}m\left( v_{2}^{2}- v_{1}^{2}\right)= - \int_{r_{1}}^{r_{2}}f\left(r\right)dr = - \left[\Phi\left(r_{2}\right)-\Phi\left(r_{1}\right)\right] \tag{06} \end{equation}$ где

Φ (r)

$\:\Phi\left(r\right)\:$ следующий неопределенный интеграл

\begin{matrix} (07) & Φ (р) "=" \int ф (р) г р \end{matrix}

$\begin{equation} \Phi\left(r\right)=\int f\left(r\right)dr \tag{07} \end{equation}$

Для близнецового тела $\:\rm{P}^{\boldsymbol{\prime}}\:$ двигаясь радиально из точки $\:\rm{P}_{1}\:$ В точку $\:\rm{P}_{2}^{\boldsymbol{\prime}}\:$ принцип (03) дает, конечно, тот же результат для изменения кинетической энергии

\begin{matrix} (08) & \frac{1}{2} м (ж_{2}^{2} - ж_{1}^{2}) "=" \int_{п_{1}}^{п_{2}^{'}} ф (р) \circ г р "=" \int_{п_{1}}^{п_{2}^{'}} [- ф (р) \frac{р}{р}] \circ г р "=" - \int_{р_{1}}^{р_{2}} ф (р) г р \end{matrix}

$\begin{equation} \tfrac{1}{2}m\left( w_{2}^{2}- w_{1}^{2}\right)=\int_{\rm{P}_{1}}^{\rm{P}_{2}^{\boldsymbol{\prime}}}\mathbf{f}\left(r\right)\circ d\mathbf{r}=\int_{\rm{P}_{1}}^{\rm{P}_{2}^{\boldsymbol{\prime}}}\left[\;-\;f\left(r\right)\dfrac{\mathbf{r}}{r}\right]\circ d\mathbf{r}= - \int_{r_{1}}^{r_{2}}f\left(r\right)dr \tag{08} \end{equation}$ то есть

\begin{matrix} (09) & \frac{1}{2} м (ж_{2}^{2} - ж_{1}^{2}) "=" - \int_{р_{1}}^{р_{2}} ф (р) г р "=" - [Φ (р_{2}) - Φ (р_{1})] \end{matrix}

$\begin{equation} \tfrac{1}{2}m\left( w_{2}^{2}- w_{1}^{2}\right)= - \int_{r_{1}}^{r_{2}}f\left(r\right)dr = - \left[\Phi\left(r_{2}\right)-\Phi\left(r_{1}\right)\right] \tag{09} \end{equation}$ Из (06) и (09)

\begin{matrix} (10) & \frac{1}{2} м (ж_{2}^{2} - ж_{1}^{2}) "=" \frac{1}{2} м (в_{2}^{2} - в_{1}^{2}) \end{matrix}

$\begin{equation} \tfrac{1}{2}m\left( w_{2}^{2}- w_{1}^{2}\right)= \tfrac{1}{2}m\left( v_{2}^{2}- v_{1}^{2}\right) \tag{10} \end{equation}$ так что если

w_{1} = v_{1}

$\: w_{1}= v_{1}\:$ затем

w_{2} = v_{2}

$\: w_{2}= v_{2}\:$ , КЭД.

Но вся история состоит не только в том, чтобы доказать это, но и в том, чтобы поговорить о том, что находится под столом, как это сделал Фейнман.

Функция $\:\Phi\left(r\right)\:$ это потенциальная энергия, и это очень важный инструмент: подумайте, что вам нужно рассчитать работу, совершаемую силой $\:\mathbf{f}\left(r\right)\:$ вот так в уравнении (01) из точки $\:\rm{P}_{1}\:$ В точку $\:\rm{P}_{2}\:$ на криволинейном пути очень сложного уравнения. Вместо того, чтобы заниматься сложными и утомительными вычислениями, вы сразу же получаете ответ, используя потенциальную энергию:

проделанная работа = $\:\Phi\left(r_{1}\right)-\Phi\left(r_{2}\right)\:$ .

Уравнение (06) или (09) может быть выражено как

\begin{matrix} (11) & \frac{1}{2} м в_{2}^{2} + Φ (р_{2}) "=" \frac{1}{2} м в_{1}^{2} + Φ (р_{1}) \end{matrix}

$\begin{equation} \tfrac{1}{2}m v_{2}^{2}+\Phi\left(r_{2}\right)=\tfrac{1}{2}m v_{1}^{2}+\Phi\left(r_{1}\right) \tag{11} \end{equation}$ экономия энергии

\begin{matrix} (12) & \underset{к я н е т я с е н е р г у}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} м в^{2}}} + \underset{п о т е н т я а л е н е р г у}{\underset{⏟}{\frac{}{} Φ}} "=" постоянный \end{matrix}

$\begin{equation} \underbrace{\tfrac{1}{2}m v^{2}}_{kinetic\: energy}+\underbrace{\tfrac{}{}\Phi}_{potential\: energy} = \text{ constant} \tag{12} \end{equation}$ Обратите внимание, что потенциал

ϕ

$\:\phi \:$ потенциальная энергия на единицу заряда

\begin{matrix} (13) & ф "=" \frac{Φ}{ξ} \end{matrix}

$\begin{equation} \phi = \dfrac{\Phi}{\xi} \tag{13} \end{equation}$ где

ξ

$\:\xi\:$ это заряд:

ξ = m = mass

$\:\xi= m = \text{mass}\:$ в гравитации,

ξ = q = electric charge

$\:\xi= q = \text{electric charge}\:$ в электростатике.

РАЗДЕЛ B: Консервативные векторные поля

введите описание изображения здесь

Существует соотношение, связывающее векторное поле $\:\mathbf{f}\left(r\right)\:$ уравнения (01) и скалярного потенциала $\:\Phi\left(r\right)\:$ уравнения (07). Из (07)

\begin{matrix} (14) & ф (р) "=" \frac{г Φ}{г р} \end{matrix}

$\begin{equation} f\left(r\right)=\dfrac{d\Phi}{dr} \tag{14} \end{equation}$ С другой стороны, поскольку

r = (x, y, z)

$\:\mathbf{r}=\left(x,y,z\right)\:$ и

r = ‖ r ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

$\:r=\Vert\mathbf{r}\Vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\:$

\begin{matrix} (15) & н_{р} "=" \frac{р}{р} "=" (\frac{Икс}{р}, \frac{у}{р}, \frac{г}{р}) "=" (\frac{\partial р}{\partial Икс}, \frac{\partial р}{\partial у}, \frac{\partial р}{\partial г}) \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{n}_{r}=\dfrac{\mathbf{r}}{r}=\left(\dfrac{x}{r},\dfrac{y}{r},\dfrac{z}{r}\right)=\left(\dfrac{\partial r}{\partial x},\dfrac{\partial r}{\partial y},\dfrac{\partial r}{\partial z}\right) \tag{15} \end{equation}$

Подстановка выражений (14) и (15) в (01) дает

\begin{matrix} (16) & ф (р) "=" - \frac{г Φ}{г р} (\frac{\partial р}{\partial Икс}, \frac{\partial р}{\partial у}, \frac{\partial р}{\partial г}) "=" - (\frac{г Φ}{г р} \frac{\partial р}{\partial Икс}, \frac{г Φ}{г р} \frac{\partial р}{\partial у}, \frac{г Φ}{г р} \frac{\partial р}{\partial г}) "=" - (\frac{\partial Φ}{\partial Икс}, \frac{\partial Φ}{\partial у}, \frac{\partial Φ}{\partial г}) \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{f}\left(r\right)=-\dfrac{d\Phi}{dr}\left(\dfrac{\partial r}{\partial x},\dfrac{\partial r}{\partial y},\dfrac{\partial r}{\partial z}\right)=-\left(\dfrac{d\Phi}{dr}\dfrac{\partial r}{\partial x},\dfrac{d\Phi}{dr}\dfrac{\partial r}{\partial y},\dfrac{d\Phi}{dr}\dfrac{\partial r}{\partial z}\right)=-\left(\dfrac{\partial \Phi}{\partial x},\dfrac{\partial \Phi}{\partial y},\dfrac{\partial \Phi}{\partial z}\right) \tag{16} \end{equation}$ то есть

\begin{matrix} (17) & ф (р) "=" - \nabla Φ \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{f}\left(r\right)=\;- \;\nabla \Phi \tag{17} \end{equation}$ где

\begin{matrix} (18) & \nabla "=" (\frac{\partial}{\partial Икс}, \frac{\partial}{\partial у}, \frac{\partial}{\partial г}) \end{matrix}

$\begin{equation} \nabla = \left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \tag{18} \end{equation}$ известный «градиент», важный дифференциальный оператор, применяемый к скалярным функциям

(x, y, z)

$\:\left(x,y,z\right)\:$ .

Градиент $\:\nabla \Phi \:$ представляет собой вектор с величиной, равной скорости изменения $\:\Phi\:$ , изменение на единицу длины. Но дело не только в этом: его направление в любой точке всегда перпендикулярно поверхностям. $\:\Phi = \text{constant}\:$ , так называемые эквипотенциальные поверхности, как показано на рисунке выше, и указывает направление максимальной скорости увеличения на единицу длины. Сила поля направлена наоборот, на максимальную скорость убывания потенциала (энергии).

Обратите внимание, что в свете определения градиента уравнение (15) читается как

\begin{matrix} (15') & \nabla р "=" \frac{р}{р} "=" н_{р} \end{matrix}

$\begin{equation} \nabla r = \dfrac{\mathbf{r}}{r}= \mathbf{n}_{r} \tag{15'} \end{equation}$ В этом случае эквипотенциальными поверхностями являются поверхности сфер.

На рисунке ниже

\begin{matrix} (19) & \int_{А}^{Б} ф \circ г р "=" - \int_{А}^{Б} \nabla Φ \circ г р "=" - \int_{А}^{Б} (\frac{\partial Φ}{\partial Икс} г Икс + \frac{\partial Φ}{\partial у} г у + \frac{\partial Φ}{\partial г} г г) "=" - \int_{А}^{Б} г Φ \end{matrix}

$\begin{equation} \int_{\rm{A}}^{\rm{B}}\mathbf{f}\circ d\mathbf{r}=-\int_{\rm{A}}^{\rm{B}}\nabla \Phi \circ d\mathbf{r}=-\int_{\rm{A}}^{\rm{B}}\left(\dfrac{\partial \Phi}{\partial x} dx + \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} dy + \dfrac{\partial \Phi}{\partial z} dz \right)=-\int_{\rm{A}}^{\rm{B}}d\Phi \tag{19} \end{equation}$ так

\begin{matrix} (20) & \int_{А}^{Б} ф \circ г р "=" Φ_{1} - Φ_{2} "=" не зависит от пути интегрирования \end{matrix}

$\begin{equation} \int_{\rm{A}}^{\rm{B}}\mathbf{f}\circ d\mathbf{r}= \Phi_{1}-\Phi_{2} = \text{independent of the path of integration} \tag{20} \end{equation}$ или

\begin{matrix} (21) & \oint ф \circ г р "=" 0 для каждого замкнутого пути интегрирования \end{matrix}

$\begin{equation} \oint\mathbf{f}\circ d\mathbf{r}= 0 \quad \text{for every closed path of integration} \tag{21} \end{equation}$

Обратите внимание, что уравнения (17), (20), (21) эквивалентны: например, если криволинейный интеграл векторного поля равен нулю на любом замкнутом пути, то он является градиентом скалярного поля и наоборот. Эти свойства характеризуют так называемые консервативные векторные поля.

введите описание изображения здесь

Одна вещь, которую я не вижу в этом ответе, - это фактический ответ на вопрос «о чем, черт возьми, говорил Фейнман?» Он пытался ответить: «Чем оно ближе, тем быстрее оно движется, но насколько?»: его ответ: предположим, что мы используем полярные координаты, чтобы перейти от $(r_1,\theta_1)$ к $(r_2,\theta_2)$ , не по фактическому пути, а вместо этого сначала неявно переходя к $(r_1,\theta_2)$ по круговой траектории (не меняя $v^2$ как мы идем), затем попадая радиально от $(r_2,\theta_2)$ к $(r_1,\theta_2)$ (ускорение $\vec v$ ), затем ориентируясь $\vec v$ в каком бы направлении он ни должен был быть сейчас.
@ChrisDrost Вы имели в виду из $(r_1,\theta_2)$ к $(r_2,\theta_2)$ , верно?
Извините, да. Эти последние два пункта перевернуты. Я прочитал «заставьте его двигаться радиально, а затем мы позволим ему упасть» как говорящий «мы движемся по кругу постоянного радиуса, а затем мы изменяем только радиус».
@Chris Drost Спасибо за ваш комментарий. Я считаю, что вся история здесь не гравитация или движение планет. Это попытка Фейнмана познакомить студента или любого, кто интересуется, с концепцией консервативных полей и т. д.
Я тоже согласен; Я не говорю, что ваш ответ был неправильным , скорее, он был хорошим, но упустил важную деталь (буквальный ответ на буквальный вопрос, который так же важен, как и общий ответ, информирующий об общем вопросе), который я выбрал добавить в комментарий, а не предлагать редактирование.
@ChrisDrost Я думаю, вам следует расширить свой комментарий и переписать его как ответ. это принесет пользу мне и всем, кто заинтересован в понимании прекрасных рассуждений Фейнмана.
@diracpaul Дополнительный вопрос: как тот факт, что работа, проделанная при обходе любого пути в гравитационном поле, равна нулю, означает, что $T+U=constant$ повсюду? Дело в том, что $W=0$ на замкнутом пути в гравитационном поле, как мне кажется, подразумевает следующее: оно подразумевает, что в каждой точке, если мы суммируем $T$ и $U$ то они постоянны. но это не означает, что $T=U$ = одна и та же константа для каждой точки. Так например $T+U$ в одной точке может быть =1 джоуль, в другой точке =2 джоуля. Так что, хотя она постоянна в каждой точке, константа меняется от одной точки к другой.
@ Омар Нагиб Я думаю, что под Т ты имеешь в виду кинетическую энергию, $T=\dfrac{1}{2}mv^{2}$ , а через U потенциальную энергию, $U=m\phi$ , где $\phi$ потенциал. Полная энергия частицы $E_{tot}=T+U$ есть величина ЧАСТИЦЫ (не поля), остающаяся постоянной НА ОРБИТЕ ЧАСТИЦЫ, а не в каждой точке пространства, в предположении, что эта частица движется только под действием поля. Нет величины, называемой кинетической энергией, в точках, где нет ни нашей частицы, ни других частиц.
@diracpaul Да, я знаю, что эта энергия связана с частицами в поле, а не с самим полем. Однако в своем ответе вы доказали, что $T_1+U_1=T_2+U_2$ поэтому $T+U=constant$ по орбите (или любой замкнутой траектории в гравитационном поле). Как доказать этот результат ( $T+U=constant$ ) в предположении *Работа, проделанная при обходе любой траектории в гравитационном поле, равна нулю* (потому что это подразумевается Фейнманом в абзаце).
Работа, совершаемая при обходе любой траектории в гравитационном поле, равна нулю, по-видимому, подразумевает, что $T_1+U_1=K_1$ и $T_2+U_2=K_2$ .Как это доказать $K_1=K_2$ ?
@diracpaul Хорошо, прочитав ваш расширенный ответ, я понял, большое спасибо.
Почему ты удалил его? Я не понимаю, как ваш ответ противоречит политике сайта :(

Кнчжоу · Answer 2

Дело в том, что если $\frac{1}{2} mv^2 - GMm/r$ постоянно, то $v$ зависит только от $r$ ! Это удивительно и очень полезно; это означает, что $v$ будет одинаковым независимо от того, по какому пути планета пойдет от какого-либо $r_1$ к $r_2$ .

В данном случае он использует два пути: обычную эллиптическую орбиту планеты и путь, ведущий прямо к солнцу. Вам не нужно беспокоиться о том, чтобы точно визуализировать пути; дело в том, что путь вообще не имеет значения.

да я с тобой согласен что $v$ зависит только от $r$ и я согласен, что путь не имеет значения. Однако мой вопрос заключался в том, что Фейнман делает с этой планетой? что он делает, когда говорит, давайте изменим направление (но не величину) скорости и сделаем ее радиальной, а когда он говорит, пусть планета свободно попадает в радиус интереса, я не понимаю, что он делает в этом пример.
Подумайте об эллиптической орбите Омара, см. это . В апогее планета движется очень медленно. В перигре он движется очень быстро и эффективно падает с одного на другой. Он не падал вертикально к Солнцу, но если бы он падал вертикально от высоты апогея до высоты перигрея, то имел бы такую же разницу скоростей.
Вы попали в самую точку, сэр. - Эд. (ФЛП)

CR Дрост · Answer 3

Траектория Фейнмана

Траектория, обсуждаемая Фейнманом, показана ниже красным для синего пути, который представляет собой гиперболическое отклонение маленькой частицы вокруг большой звезды с центром в $(0, 0)$ .

Синяя гипербола проходит дугой от A слева к B справа; круг постоянного радиуса следует своему полярному углу до тех пор, пока не будет достигнут угол B, затем путь падает радиально в сторону B.

Обсуждение

Здесь траектория Фейнмана пытается ответить на вопрос: насколько увеличилась скорость между А и В. Он отвечает на это, говоря, что существует альтернативная и во многих отношениях более простая траектория, которая отвечает на этот вопрос.

Этот красный путь начинается с начального отклонения: $\vec v$ , что было примерно $[-3 u, u]$ для некоторых $u$ , вместо этого был отклонен примерно $[0, u\sqrt{10}]$ . Так, $v^2$ не изменилось, но направление $\vec v$ имеет, чтобы соответствовать круговой орбите.

Затем красный путь содержит круговую орбиту длиной около 240 °. Эта орбита не является физической траекторией в смысле гравитации, обеспечивающей ее для вас: как обсуждалось, это гиперболическая траектория, что означает $v$ больше космической скорости звезды. Соответственно, частицу можно удержать на этой орбите, только если ее притянет к звезде, возможно, с помощью очень прочной веревки, очень массивной трассы американских горок или тщательно настроенного ракетного двигателя. Что бы это ни было, оно обеспечивает дополнительную силу, необходимую для удержания частицы на этой орбите, не ускоряя и не замедляя частицу. Это звучит очень сложно! Но он «простой» в том смысле, что скорость $v$ частицы остается постоянной, не меняющейся, и изменяется только угол частицы относительно звезды.

После этой круговой орбиты точка B находится прямо между частицей и звездой. Скорость частицы снова меняет направление без изменения величины. Теперь он указывает прямо на звезду, и частица падает с этой начальной скоростью прямо в точку B. Это единственное место, где скорость частицы увеличивается, и это также очень простая траектория падения. «Сущность» того, о чем говорит Фейнман, заключается в том, что увеличение скорости во время этого абстрактного пути падения точно такое же, как увеличение скорости физического пути, по которому фактически движется частица.

Наконец, скорость меняет направление на что-то почти параллельное $-\hat y$ , чтобы соответствовать направлению скорости, которую частица имеет в B. Теперь частица может следовать по той же самой гиперболической траектории вдали от звезды, поскольку она имеет то же положение и скорость, что и физический путь.

Итак, Фейнман говорит, что существует траектория, состоящая из двух частей, которая дает одинаковую скорость, в которой используется одна дуга с «каким-то особым радиусом» (который представляет собой расстояние от звезды до A, «начальный радиус» в полярных координатах). упасть на «радиус интереса» (расстояние от звезды до B). Разница кинетической энергии между обоими путями одинакова, поэтому, если начальные скорости на двух разных траекториях одинаковы, конечные скорости также должны быть одинаковыми. Это общее свойство любого «консервативного закона силы».

Вот на такой ответ я и рассчитывал. Я думаю, вы очень хорошо объяснили рассуждения Фейнмана, молодец!

Джон · Answer 4

Вот что, я думаю, он имеет в виду: сначала у нас есть планета, вращающаяся вокруг Солнца по какой-то орбите, затем мы меняем направление скорости, чтобы двигаться радиально наружу, например, позволяя планете двигаться внутри какой-то трубы, которую мы помещаем на ее пути ( обратите внимание, что нормальная планета никогда бы этого не сделала, потому что в космосе нет больших труб, а также было бы довольно много трения). Затем мы оставляем планету в покое, и, как вы можете себе представить, она замедлится и достигнет нулевой скорости на каком-то особом радиусе. Затем, когда планета падает обратно внутрь, она ускоряется и в какой-то момент пересечет исходную точку орбиты, где была труба (мы быстро убрали трубу). Поскольку теперь мы вернулись в ту же позицию, с которой мы начали, скорость должна быть той же.

это классический фейнман :). позволять вещам ходить по трубам или иметь любые другие невообразимые ограничения, уменьшающие трение.
Если вещь с трубкой кажется странной, просто представьте себе теннисный мячик, вращающийся вокруг солнца. Поместим на его пути плоскую поверхность так, чтобы мяч упруго отклонялся и летел радиально наружу.

Путаница с примером в лекциях Фейнмана

Омар Нагиб

Джон

Ответы (4)

пользователь82794

CR Дрост

Омар Нагиб

CR Дрост

пользователь82794

CR Дрост

Омар Нагиб

Омар Нагиб

пользователь82794

Омар Нагиб

Омар Нагиб

Омар Нагиб

Омар Нагиб

пользователь36790

Кнчжоу

Омар Нагиб

Джон Даффилд

Майкл А. Готтлиб

CR Дрост

Траектория Фейнмана

Обсуждение

Омар Нагиб

Джон

Джон

Джон

Работа, проделанная консервативными и неконсервативными силами

Куда девается механическая энергия в случае объекта на высоте?

Вопрос о расчете потенциальной энергии

Почему работа, совершаемая силой над телом, отрицательна?

В каком направлении совершается положительная работа под действием силы тяжести и чем обосновывается связь между работой, потенциальной и кинетической энергией?

Почему чистая работа туриста, несущего 15-килограммовый рюкзак на высоту 10 метров, равна 0 Дж (Джанколи)?

Откуда гравитация берет энергию для совершения работы над объектом?

Разве работа, совершаемая системой пружины и массы, не равна нулю, так что потенциальная энергия не меняется?

Каково математическое определение работы?

Как вес твердого тела может воздействовать на него, чтобы заставить его вращаться?