Как возможны любые? (другая версия)

Я знаю, что этот вопрос задавался несколько раз (особенно см. Как это возможно? ), даже как побочный продукт других вопросов, поскольку я не нашел полностью удовлетворительных ответов, здесь я представляю другую версию вопроса, изложенную в очень точная форма, использующая только очень элементарные общие предположения квантовой физики . В частности, я не буду использовать никаких операторов (обозначенных$P$в других версиях), представляющих обмен частицами.

Предположим, что мы имеем дело с системой из пары одинаковых частиц, каждая из которых движется$R^2$. Пренебрегая пока тем фактом, что частицы неразличимы, начнем с гильбертова пространства$L^2(R^2)\otimes L^2(R^2)$, который изоморфен$L^2(R^2\times R^2)$. Теперь я делю оставшуюся часть моего вопроса на несколько элементарных шагов.

(1) Каждый элемент$\psi \in L^2(R^2\times R^2)$с$||\psi||=1$определяет состояние системы, где$|| \cdot||$это$L^2$норма.

(2) Каждый элемент класса$\{e^{i\alpha}\psi\:|\; \psi\}$за$\psi \in L^2(R^2\times R^2)$с$||\psi||=1$определяет одно и то же состояние, а состояние — это такой набор векторов.

(3) Каждый$\psi$как указано выше, можно рассматривать как комплекснозначную функцию, определенную до нулевых (лебеговских) наборов мер на$R^2\times R^2$.

(4) Теперь рассмотрим «состояние подкачки», определяемое (в силу (1)) формулой$\psi' \in L^2(R^2\times R^2)$по функции (с точностью до множества нулевой меры):

$$\psi'(x,y) := \psi(y,x)\:,\quad (x,y) \in R^2\times R^2$$

(5) Физический смысл состояния, представленного$\psi'$это состояние полученной формы$\psi$с ролью двух частиц поменялись местами.

(6) Поскольку частицы идентичны, состояние, представленное$\psi'$должен быть таким же, как представленный$\psi$.

(7) Ввиду (1) и (2) он должен быть:

$$\psi' = e^{i a} \psi\quad \mbox{for some constant $a\in R$.}$$

Здесь физика останавливается. В дальнейшем я буду использовать только математику.

(8) Ввиду (3) приведенное тождество можно эквивалентно переписать в виде

$$\psi(y,x) = e^{ia}\psi(x,y) \quad \mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\quad [1]\:.$$

(9) Так как$(x,y)$в [1] есть любая пара точек до множества нулевой меры, мне разрешено менять их имена, получая

$$\psi(x,y) = e^{ia}\psi(y,x) \quad \mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\quad [2]$$
(Обратите внимание, что набор с нулевой мерой, где идентичность терпит неудачу, остается набором с нулевой мерой при отражении. $(x,y) \mapsto (y,x)$, так как это изометрия $R^4$и мера Лебега инвариантна относительно изометрий.)

(10) Так как, опять же, [2] выполняется почти всюду для любой пары$(x,y)$, мне разрешено снова использовать [1] в правой части [2] для получения:

$$\psi(x,y) = e^{ia}e^{ia}\psi(x,y) \quad \mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\:.$$
(Это заведомо верно вне объединения множества нулевой меры $A$где [1] не выполняется, а полученное отражением $(x,y) \mapsto (y,x)$из $A$сам.)

(11) Вывод:

$$[e^{2ia} -1] \psi(x,y)=0 \qquad\mbox{almost everywhere for $(x,y)\in R^2\times R^2$}\quad [3]$$

С$||\psi|| \neq 0$,$\psi$не может исчезнуть везде на$R^2\times R^2$. Если$\psi(x_0,y_0) \neq 0$,$[e^{2ia} -1] \psi(x_0,y_0)=0$подразумевает$e^{2ia} =1$так что:

$$e^{ia} = \pm 1\:.$$

И таким образом, по-видимому, никому не разрешено.

Где ошибка?

ДОБАВЛЕННОЕ ЗАМЕЧАНИЕ. (10) является полностью математическим результатом. Вот еще один способ получить его. (8) можно записать как$\psi(a,b) = e^{ic} \psi(b,a)$для некоторых фиксированных $c \in R$и все $(a,b) \in R^2 \times R^2$(Я не рассматриваю вопрос о незначительных множествах). Выбор первый$(a,b)=(x,y)$а потом$(a,b)=(y,x)$получаем соотв.$\psi(x,y) = e^{ic} \psi(y,x)$а также$\psi(y,x) = e^{ic} \psi(x,y)$. Они немедленно производят [3]$\psi(x,y) = e^{i2c} \psi(x,y)$.

Таким образом, физический аргумент (4)-(7) о том, что мы снова переставили частицы и, таким образом, может появиться новая фаза, здесь неприменим.

2-е ДОБАВЛЕННОЕ ЗАМЕЧАНИЕ. Понятно, что как только разрешат писать

$\psi(x,y) = \lambda \psi(y,x)$для постоянного $\lambda\in U(1)$и все $(x,y) \in R^2\times R^2$

Игра окончена:$\lambda$оказывается$\pm 1$и любые запрещены. Впрочем, это всего лишь математика. Я предполагаю, что выход состоит в том, что истинное конфигурационное пространство не$R^2\times R^2$но какое-то другое пространство, чье$R^2 \times R^2$является универсальным покрытием.

Идея (довольно грубая) может быть следующей. Следует предположить, что частицы неразличимы на пустом месте, уже определяя конфигурационное пространство, то есть что-то вроде$Q := R^2\times R^2/\sim$куда$(x',y')\sim (x,y)$если$x'=y$а также$y'=x$. Или, возможно, вычитание набора$\{(z,z)\:|\: z \in R^2\}$к$R^2\times R^2$прежде чем взять частное, сказать, что частицы не могут оставаться на одном и том же месте. Предположим первый случай для простоты. Существует (двойная?) покрывающая карта$\pi : R^2 \times R^2 \to Q$. Мое предположение следующее. Если определить волновые функции$\Psi$на$R^2 \times R^2$, он автоматически определяет многозначные волновые функции на$Q$. Я имею в виду$\psi:= \Psi \circ \pi^{-1}$. Проблема многих значений физически не имеет значения, если разность двух значений (в предположении, что покрытие двойное) является просто фазой, и это можно было бы записать ввиду отождествления$\sim$используется для построения$Q$снаружи$R^2 \times R^2$:

$$\psi(x,y)= e^{ia}\psi(y,x)\:.$$ Обратите внимание, что тождество нельзя интерпретировать буквально, потому что $(x,y)$а также $(y,x)$являются одной и той же точкой в $Q$, так что мой трюк для доказательства $e^{ia}=\pm 1$не может быть реализован. Ситуация похожа на ту, что $QM$на $S^1$индуцирующие многозначные волновые функции образуют его универсальное покрытие $R$. В таком случае пишут $\psi(\theta)= e^{ia}\psi(\theta + 2\pi)$.

3-е ДОБАВЛЕННОЕ ЗАМЕЧАНИЕ Я думаю, что решил проблему, которую я опубликовал, сосредоточившись на модели пары энонов, обсуждаемой на стр. 225 этой статьи matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/bcp/bcp42/bcp42116.pdf, предложенной Trimok. Модель просто вот такая:

$$\psi(x,y):= e^{i\alpha \theta(x,y)} \varphi(x,y)$$
куда $\alpha \in R$постоянная, $\varphi(x,y)= \varphi(y,x)$, $(x,y) \in R^2 \times R^2$а также $\theta(x,y)$угол по отношению к некоторой фиксированной оси отрезка $xy$. Можно перейти к координатам $(X,r)$, куда $X$описывает центр масс и $r:= y-x$. Замена частиц означает $r\to -r$. Не обращая внимания на математические подробности, можно увидеть, что на самом деле: $$\psi(X,-r)= e^{i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A)$$ для вращения против часовой стрелки. (Для поворотов по часовой стрелке знак $-$появляется в фазе, описывающей другой элемент группы кос $Z_2$. Также обратите внимание, что для $\alpha \pi \neq 0, 2\pi$функция исчезает для $r=0$, а именно $x=y$, а это соответствует тому, что мы убрали множество $C$точек совпадения $x=y$из пространства конфигураций.)

Однако более внимательное рассмотрение показывает, что ситуация более сложная: угол$\theta(r)$не определен правильно без фиксации базовой оси, где$\theta =0$. После этого можно предположить, например,$\theta \in (0,2\pi)$, иначе$\psi$следует считать многозначным . С выбором$\theta(r) \in (0,2\pi)$, (A) выполняется не везде. Рассмотрим вращение против часовой стрелки$r$. Если$\theta(r) \in (0,\pi)$тогда (A) имеет место в виде

$$\psi(X,-r)= e^{+ i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{+ i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A1)$$ но для $\theta(r) \in (\pi, 2\pi)$, и всегда для вращения против часовой стрелки можно найти $$\psi(X,-r)= e^{-i \alpha \pi} \psi(X,r)\quad \mbox{i.e.,}\quad \psi(x,y)= e^{- i \alpha \pi} \psi(y,x)\quad (A2)\:.$$ Различные результаты возникают с различными соглашениями. В любом случае очевидно, что фаза, обусловленная процессом обмена, является функцией$(x,y)$(даже если локально константа), а не константа. Это делает недействительным мое «непроходное доказательство», но также доказывает, что понятие любой статистики сильно отличается от стандартного, основанного на группах перестановок, где фазы из-за обмена частицами постоянны в $(x,y)$. Как следствие, измененное состояние отличается от исходного , отличается от того, что происходит с бозонами или фермионами, и противоречит идее, что любые ионы являются неразличимыми частицами. [Заметим также, что в рассматриваемой модели замена исходной пары бозонов означает $\varphi(x,y) \to \varphi(y,x)= \varphi(x,y)$то есть $\psi(x,y)\to \psi(x,y)$. То есть замена анионов не означает замену связанных бозонов , и это правильно, так как это еще одна физическая операция над разными физическими субъектами.]

В качестве альтернативы можно думать о любой волновой функции$\psi(x,y)$как многозначное , опять-таки отличное от того, что я предполагал в своем «доказательстве отсутствия прохода», и отличное от стандартных предположений в КМ. Это дает действительно постоянную фазу в (A). Однако мне не ясно, является ли при такой интерпретации переставленное состояние энионов таким же, как исходное, поскольку я никогда серьезно не рассматривал такие вещи, как (если таковые имеются) гильбертовы пространства многозначных функций, и я не понимаю, что случается с лучевым представлением состояний. Эта картина, однако, физически удобна, так как приводит к приемлемой интерпретации (А) и действие группы кос оказывается явным и естественным.

На самом деле появляется последняя возможность. Можно было бы иметь дело с (стандартными комплексными значениями) волновыми функциями, определенными на$(R^2 \times R^2 - C)/\sim$как известно (см. выше,$C$это набор пар$(x,y)$с$x=y$) и мы определяем операцию подкачки только с точки зрения фаз (так что мое «запретное доказательство» не может быть применено, а преобразования не изменяют состояния):

$$\psi([(x,y)]) \to e^{g i\alpha \pi}\psi([(x,y)])$$

куда$g \in Z_2$. Это может быть распространено на многие частицы, переходящие в группу кос многих частиц. Может быть, это удобно математически, но не очень выразительно физически.

Однако в модели, обсуждаемой в упомянутой мною статье, очевидно, что с точностью до унитарного преобразования гильбертово пространство теории представляет собой не что иное, как стандартное бозонное гильбертово пространство, поскольку рассматриваемые волновые функции получаются из волновых функций этого пространства с помощью унитарного отображения, связанного с сингулярным калибровочным преобразованием, и именно эта сингулярность порождает всю интересную структуру! Однако в исходной бозонной системе сингулярность уже существовала: магнитное поле представляло собой сумму дельты Дирака. Я не знаю, есть ли смысл думать о ком-то отдельно от их динамики. И я не знаю, является ли этот результат общим. Я предполагаю, что перемещение сингулярности из статистики во взаимодействие и наоборотэто именно то, что происходит в формулировке интеграла по путям при перемещении внешней фазы во внутреннее действие, см. ответ Тенгена.