Смысл постулата симметризации при отсутствии подходящей модели

Мой вопрос касается использования понятия неразличимых частиц (в квантовой механике) в самом общем контексте и, в частности, в статистической механике. Я ясно изложил некоторые из своих мнений по этому вопросу в недавней статье , но, размышляя еще больше, я не могу понять, почему эта особенность неразличимости используется так повсеместно и чем она оправдана.

Мне известны вопросы, задаваемые здесь и там , и ответы на них, но я думаю, что они не совсем соответствуют моему вопросу.

Меня удивляет особая и внутренняя роль, которую, по-видимому, играет оператор перестановки (скажем, Π ^ 12 для замены частиц 1 и 2) по сравнению с другими операторами симметрии.

В частности, в большинстве случаев, которые приходят мне на ум (вращение, перенос, инверсия времени, четность и т. д.), симметрии системы содержатся в лагранжиане или гамильтониане системы. Например, в простой квантовой механике, если система обладает определенной симметрией, то ее гамильтониан коммутирует с соответствующим представлением этой группы симметрии. Стандартным является то, что, когда мы хотим получить полное описание состояния, мы ищем полный набор коммутирующих наблюдаемых, которые будут переводить конкретную структуру в квантовое состояние.

На примере двух частиц, рассматриваемых во многих случаях, если гамильтониан коммутирует с оператором перестановки, то естественно искать решение уравнения Шредингера, которое является собственным вектором Π ^ 12 с любым собственным значением + 1 или − 1 .

Теперь я прекрасно понимаю, что приведенных выше рассуждений недостаточно для того, чтобы прийти к постулату симметризации (поскольку на него были даны хорошие ответы в других приведенных выше вопросах), но моя точка зрения состоит в том, что, хотя тенденция, по-видимому, обычно идет от гамильтониана (который Я концептуально приравниваю моделирование проблемы) к симметриям и структуре квантового состояния, меня удивляет, что в случае "одинаковых" частиц фермионно-бозонное рассуждение всегда предшествует гамильтониану (за исключением Стандартного Модель физики элементарных частиц). Другими словами, по существу упускается из виду (я думаю), что кажущаяся неразличимость группы частиц может быть вызвана (возможно, упрощенным или, по крайней мере, эффективным) моделированием проблемы.

Меня больше беспокоят общие частицы, такие как составные частицы, такие как атомы, молекулы и т. д., где иногда (если не часто) предполагается, что они неразличимы в квантово-механическом смысле, в то время как я думаю, что на самом деле они почти никогда не неразличимы.

Если я возьму, например, газ из молекул, я серьезно задаюсь вопросом, что значит считать их неразличимыми в квантовом смысле, поскольку они могут иметь разные конформации или электронные состояния при любой конечной температуре (спектроскописты это очень хорошо знают).

Тогда мой вопрос следующий:

Достаточно ли для совокупности концептуально идентичных составных систем (т. е. идентичных по своему составу) получить эффективный гамильтониан, коммутирующий с оператором перестановки, чтобы заключить, что описанные таким образом частицы неразличимы в квантово-механическом смысле? Если нет, то как обосновать использование фермионной и бозонной статистики для составных систем?

РЕДАКТИРОВАТЬ: я постараюсь быть немного более конкретным

Рассмотрим пока двухчастичную систему с эффективным гамильтонианом

ЧАС ^ ≡ п ^ 1 2 2 м + п ^ 2 2 2 м + В ( Икс ^ 1 ) + В ( Икс ^ 2 )

где внешнее поле В действует одинаково на две частицы в данном месте.

Насколько я понимаю, этот гамильтониан коммутирует с оператором Π ^ 12 который меняет ярлыки 1 ↔ 2 .

Теперь представим себе, что изучаемые частицы обладают еще одним наблюдаемым свойством Ф ^ (цвет, размер, проекция вращения и т. д.), чтобы [ ЧАС ^ , Ф ^ ] "=" 0 и что две частицы, на которые мы смотрим, возможно, имеют разные собственные значения для свойства Ф ^ .

Теперь обозначим { | ф н ⟩ } н "=" 1 , 2.. собственные состояния индивидуального гамильтониана для каждой частицы и { | ф α ⟩ } α "=" 1 , 2.. собственные векторы функции Ф ^ .

Достаточно ли этих ингредиентов, чтобы полное состояние было симметричным или антисимметричным? например

| Ψ ⟩ "=" 1 2 ( | ф н 1 , ф α 1 ; ф н 2 , ф α 2 ⟩ ± | ф н 2 , ф α 2 ; ф н 1 , ф α 1 ⟩ )

Я полагаю, что да, и ответ Гектора, по-видимому, указывает на то, что это также имеет место для двух частиц и что кажется «естественным» распространить выбранное симметричное или антисимметричное свойство на случай N-частицы (чтобы в конечном итоге быть проверенным в экспериментах ).

Что значит «неразличимый в квантово-механическом смысле», как не «гамильтониан, коммутирующий с оператором перестановки» ?
Для меня это означает « я должен использовать постулат симметризации/антисимметризации », который, насколько я понимаю, не обязательно следует из того, что оператор перестановки коммутирует с гамильтонианом. Более того, просто наличия оператора перестановки, коммутирующего с гамильтонианом, недостаточно, чтобы провести обычное (и спорное?) различие между различимыми идентичными частицами и неразличимыми идентичными частицами.
Знаете ли вы, что «(анти-)постулат симметризации» (если вы имеете в виду предположение, что частицы с целочисленным спином всегда являются бозонами и т. д.) является только постулатом нерелятивистской квантовой механики? Теорема о спиновой статистике КТП доказывает, что спин и природа бозона/фермиона действительно связаны.
Это не то, что я имею в виду. Существует четкое обычное различие между различимыми идентичными частицами (для которых нам не нужно симметрировать или антисимметризовать квантовые состояния) и неразличимыми идентичными частицами (для которых мы должны полностью симметрировать или антисимметризовать состояния). В сознании многих людей это различие проясняет многие загадки, окружающие парадокс Гиббса в статистической механике. Мой вопрос заключается в том, как оправдать (если это оправдано) полную симметризацию или антисимметризацию состояний, скажем, атомов гелия в газе при любой конечной температуре.

Ответы (1)

Я думаю, вас беспокоит, зачем использовать фундаментальный «постулат симметризации», а не только гамильтонову симметрию. Дело в том, что это не имеет значения, предположим, я пытаюсь описать две частицы (например, фермионы) с помощью гильбертова пространства. ЧАС 1 и ЧАС 2 , гильбертово пространство двух частиц равно

ЧАС "=" ЧАС 1 ⊗ ЧАС 2
Теперь предположим, что в этом пространстве у вас есть гамильтониан.
ЧАС : ЧАС → ЧАС
И оператор перестановки п который действует в ЧАС к
п ( ты ⊗ в ) "=" в ⊗ ты
и если тождественный оператор я г : ЧАС → ЧАС вести себя как
я г ( ты ⊗ в ) "=" ты ⊗ в
Вы можете взять фактор-гильбертово пространство, используя диапазон п + я г . Итак, теперь у нас есть ЧАС / ∼ где мы определили
ты ⊗ в + в ⊗ ты ∼ 0 ⟹ ты ⊗ в ∼ − в ⊗ ты
Это обычное антисимметричное пространство, в котором вы работаете с «постулатом симметризации», классом эквивалентности ты ⊗ в обычно пишется как ты ∧ в , чтобы помнить постулат антисимметризации (и в настройках матрицы вы устанавливаете репрезентант с использованием определителей Слейтера, но это действительно не нужно, если кто-то знает, где работает). В этой настройке вы сейчас работаете в другом гильбертовом пространстве для моделирования вашей системы. Теперь правильный вопрос: когда мой гамильтониан ЧАС : ЧАС → ЧАС может быть однозначно определена в коментарном пространстве ЧАС / ∼ ? то есть, если π : ЧАС → ЧАС / ∼ это естественная проекция π ( ты ⊗ в ) "=" ты ∧ в , когда ЧАС ~ "=" π ∘ ЧАС хорошо определен? ответ только когда ЧАС коммутирует с оператором перестановки п , то есть только тогда, когда п является симметрией исходного гамильтониана. Таким образом, вы получаете точно такие же результаты, если используете «постулат симметризации» (работаете в меньшем гильбертовом пространстве) или если используете гамильтониан с перестановочной симметрией. Так почему же мы утруждаем себя использованием этого постулата симметризации? поскольку единственные «хорошие» гамильтонианы, которые можно перевести в эту настройку, - это те, которые коммутируют с п , что я на самом деле говорю в физических терминах: «Каждый физический гамильтониан для пары электронов коммутирует с оператором перестановки». Итак, эта симметрия является фундаментальным свойством частиц, а не следствием динамики, поэтому я переношу это свойство на само гильбертово пространство, а не на гамильтониан. Но формально эквивалентны, постулат симметризации есть некое «утверждение о фундаментальной природе вещей», а не о какой-то конкретной динамике.

Спасибо за хороший ответ. Однако мой вопрос был больше в том, что использование постулата симметризации (если оно оправдано симметрией гамильтониана) должно быть точным вплоть до степени точности самой модели. Если я рассмотрю, например, газ атомов, поскольку само понятие атома весьма расплывчато (связанное состояние электронов с ядром), могу ли я действительно абсолютно применить постулат симметризации к этой системе? Обратите внимание, что меня больше всего беспокоит абсолютность , которая, кажется, подразумевается, когда я прямо говорю о фермионах/бозонах.
@gatsu Может быть, это было не так ясно в моем ответе. Но я демонстрирую, что существует эквивалентность «постулата симметризации» и «симметрии относительно перестановок гамильтониана». В гелиевом газе, если вы моделируете его с помощью квантового гамильтониана с симметрией перестановки (не единственный выбор, потому что, как вы говорите, перестановка не является фундаментальной симметрией в этом случае), вы можете использовать постулат симметризации, чтобы получить те же результаты. Обычно фундаментальным образом используют «постулат симметризации». ⟹ «симметрия относительно перестановок гамильтониана», здесь мы используем обратное.
Если внимательно перечитать ваше сообщение, у меня возникнет проблема с утверждением, что постулат симметризации является своего рода «утверждением о фундаментальной природе вещей», а не о какой-то конкретной динамике . Таким образом, мой вопрос заключается в том, как мы можем решить a priori, какой должна быть фундаментальная природа вещей в отсутствие надлежащей модели (возможно, эффективной, лагранжианской или гамильтонианской)?
мы не считаем, что что-то является «фундаментальным», когда каждый физический эксперимент, который мы можем провести, соблюдает эту симметрию. Мы не знаем, придет ли когда-нибудь кто-нибудь с экспериментом, который сможет различать электроны, но тем временем мы предполагаем, что эта симметрия является фундаментальной. Все, что я говорю с «постулатом симметризации», это «каждый физический эксперимент, который мы когда-либо проводили, имеет эту симметрию, не утруждайте себя поиском вещей без нее».
Итак, вы, кажется, говорите, что пока гамильтониан обладает симметрией перестановок, тогда можно использовать постулат симметризации, и я в основном согласен с этим объяснением. Однако некоторые люди здесь утверждали , что симметрии перестановок было недостаточно , чтобы вывести и использовать постулат симметризации, поскольку наиболее общие состояния, удовлетворяющие симметрии перестановок, имеют парастатистику вместо обычной бозе- или ферми-статистики.
Я знаю, что вы имеете в виду, вы можете смешивать антисимметрию и симметрию, а в природе этого нет (только полностью симметричные и полностью антисимметричные состояния). Но это соответствует взятию разных частных, один с диапазоном я г + п 1 и другие с я г − п 2 , и смешать их. В этом случае у вас есть парастатистика, но мы не считаем ее фундаментальной, потому что есть эксперименты, которые их различают. Однако, если ваш гамильтониан обладает этой странной симметрией, вы можете поместить его в свой конкретный (и сделанный вручную) «постулат частичной симметризации» и получить те же результаты (используя частное).
единственная разница здесь в парастатистике и полной симметрии антисимметричных вещей заключается в эксперименте. Первую можно отличить, последнюю нет. Так что мы не слышим о каком-то странном «постулате антисимметризации парастатистики», но мы можем сделать его, если у нас есть гамильтониан с этой конкретной симметрией.
Смысл постулата симметризации при отсутствии подходящей модели
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v