Насколько аксиоматично требование симметризации (т.е. принцип Паули)? (в КМ)

Question

Насколько аксиоматично требование симметризации (т.е. принцип Паули)? (в КМ)

Физика
волновая функция
квантовая механика
идентичные частицы
Паули-исключение-принцип

пользователь35915

Мне до сих пор всегда говорили, что требование симметризации является аксиомой на уровне уравнения Шредингера и статистической интерпретации волновой функции (или ее абсолютного значения). Некоторое время назад, однако, я нашел следующий небольшой расчет (который я немного изменил, но, надеюсь, он все еще правильный):

Позволять $\Psi \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$ волновая функция двухчастичной системы и $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ — квантовые числа частиц. Теперь, если две частицы идентичны (т.е. неразличимы), мы не сможем наблюдать никаких изменений при обмене их квантовыми числами, что оставляет нам:

{| Ψ (\vec{н_{1}}, \vec{н_{2}}) |}^{2} "=" {| Ψ (\vec{н_{2}}, \vec{н_{1}}) |}^{2}

${\left|\Psi \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)\right|}^2={\left|\Psi \left(\vec{n_2},\vec{n_1}\right)\right|}^2$ Теперь мы можем сделать вывод:

Ψ (\vec{н_{1}}, \vec{н_{2}}) "=" е^{я дельта} Ψ (\vec{н_{2}}, \vec{н_{1}})

$\Psi \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)=\text{e}^{i\delta}\Psi \left(\vec{n_2},\vec{n_1}\right)$ Т.е. волновая функция приобретает множитель

e^{i δ}

$\text{e}^{i\delta}$ когда мы обмениваемся его аргументами. Обмен аргументами снова оставляет нас с:

е^{я 2 дельта} "=" 1 ∴ е^{я дельта} "=" \pm 1

$\text{e}^{i 2\delta}=1\ \therefore\ \text{e}^{i\delta}=\pm1$ Что в основном и утверждает принцип Паули.

Если этот расчет верен, то не следует ли считать принцип Паули следствием неразличимости идентичных частиц и статистической интерпретации, а не аксиомой?

Вальтер Моретти

см. ответы на физику.stackexchange.com/q/73670

пользователь35915

Объединив ваш ответ и джош-физику, я теперь заключаю, что в случае системы двух частиц аксиомы (принцип Паули и предположение, что состояние не меняется при обмене квантовыми числами) эквивалентны. Но в случае системы с более чем двумя одинаковыми частицами принцип Паули «сильнее» и поэтому должен использоваться для того, чтобы теория правильно описывала природу.

джошфизика

@user35915 user35915 Даже в случае более двух частиц, я думаю, вы могли бы использовать аналогичный аргумент, чтобы показать, что они в основном эквивалентны, потому что любую перестановку можно разложить на произведение транспозиций, но я не думал об этом. полностью.

пользователь35915

В случае более чем двух частиц можно еще показать, что волновая функция просто изменит знак при замене любой пары своих аргументов, но, если я получил объяснение ВМ9, проблема в том, что вы не можете показать, что она всегда будет меняться. меняют знаки одинаково. Т.е. если я поменяю аргументы 1 и 2, то могу получить минус, а если поменяю местами 1 и 3, то могу получить плюс. Другими словами: нельзя показать, что волновая функция должна быть ПОЛНОСТЬЮ симметричной или антисимметричной, как утверждает принцип Паули. Именно поэтому я назвал его «сильнее».

Вальтер Моретти

@ user35915: Да, вы хорошо поняли. Следуя этому пути, невозможно доказать, что волновые функции более двух элементов должны быть либо полностью симметричными, либо полностью антисимметричными. Современная версия принципа Паули требует полной антисимметрии этого состояния.

n

$n$ фермионы, поэтому аргумент в вопросе не эквивалентен принципу Паули, но слабее. В частности, он не может различать статистику и парастатистику.

Вальтер Моретти

Я думаю, что стоит добавить свой собственный ответ, чтобы подчеркнуть тот факт, о котором вы упомянули, что принцип Паули сильнее, чем аргумент, предложенный в вопросе.

Ответы (3)

Насколько аксиоматично требование симметризации (т.е. принцип Паули)? (в КМ)

см. ответы на физику.stackexchange.com/q/73670
Объединив ваш ответ и джош-физику, я теперь заключаю, что в случае системы двух частиц аксиомы (принцип Паули и предположение, что состояние не меняется при обмене квантовыми числами) эквивалентны. Но в случае системы с более чем двумя одинаковыми частицами принцип Паули «сильнее» и поэтому должен использоваться для того, чтобы теория правильно описывала природу.
@user35915 user35915 Даже в случае более двух частиц, я думаю, вы могли бы использовать аналогичный аргумент, чтобы показать, что они в основном эквивалентны, потому что любую перестановку можно разложить на произведение транспозиций, но я не думал об этом. полностью.
В случае более чем двух частиц можно еще показать, что волновая функция просто изменит знак при замене любой пары своих аргументов, но, если я получил объяснение ВМ9, проблема в том, что вы не можете показать, что она всегда будет меняться. меняют знаки одинаково. Т.е. если я поменяю аргументы 1 и 2, то могу получить минус, а если поменяю местами 1 и 3, то могу получить плюс. Другими словами: нельзя показать, что волновая функция должна быть ПОЛНОСТЬЮ симметричной или антисимметричной, как утверждает принцип Паули. Именно поэтому я назвал его «сильнее».
@ user35915: Да, вы хорошо поняли. Следуя этому пути, невозможно доказать, что волновые функции более двух элементов должны быть либо полностью симметричными, либо полностью антисимметричными. Современная версия принципа Паули требует полной антисимметрии этого состояния. $n$ фермионы, поэтому аргумент в вопросе не эквивалентен принципу Паули, но слабее. В частности, он не может различать статистику и парастатистику.
Я думаю, что стоит добавить свой собственный ответ, чтобы подчеркнуть тот факт, о котором вы упомянули, что принцип Паули сильнее, чем аргумент, предложенный в вопросе.

джошфизика · Answer 1

Этот аргумент просто заменяет одну аксиому другой.

Предполагается, что если квантовая система состоит из одинаковых частиц, то состояние системы не должно изменяться (умножаться на фазу) при обмене квантовыми числами.

Хотя это (возможно) более интуитивный способ представления состояний идентичных частиц, это все же сильное предположение в модели, которое не следует из других аксиом.

Дело в том, что независимо от того, что вы делаете, вам понадобятся дополнительные логические данные для работы с системами идентичных частиц.

Ян Лалински · Answer 2

Аксиома того, что плотность вероятности симметрична:

| ψ (р_{1}, р_{2}) |^{2} "=" | ψ (р_{2}, р_{1}) |^{2}

$|\psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)|^2 = |\psi(\mathbf r_2,\mathbf r_1)|^2$ подразумевает только

ψ (р_{1}, р_{2}) "=" е^{я дельта (р_{2}, р_{1})} ψ (р_{2}, р_{1}) (*)

$\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = e^{i\delta(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)}\psi(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)~~~(*)$

где $\delta(\mathbf{a},\mathbf{b})$ — произвольная действительная функция $\mathbf{a},\mathbf{b}$ . Это не означает, что $\delta$ постоянна во всем конфигурационном пространстве $\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 \in \mathbb{R}^6$ а так вообще невозможно получить

е^{я 2 дельта} ψ

$e^{i2\delta} \psi$ после применения оператора транспонирования к (*). Вместо этого получается

ψ (р_{2}, р_{1}) "=" е^{я дельта (р_{1}, р_{2})} ψ (р_{1}, р_{2})

$\psi(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1) = e^{i\delta(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)}\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ Из этих двух соотношений следует

е^{я дельта (р_{1}, р_{2})} . е^{я дельта (р_{2}, р_{1})} "=" 1

$e^{i\delta(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)}.e^{i\delta(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)} = 1$ так

дельта (р_{1}, р_{2}) + дельта (р_{2}, р_{1}) "=" к .2 π

$\delta(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) + \delta(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1) = k.2\pi$ но из этого не следует

e^{i δ}

$e^{i\delta}$ имеет определенное значение для всех

r_{1}, r_{2}

$\mathbf r_1,\mathbf r_2$ .

Чтобы получить симметричные и антисимметричные функции, необходимо сделать более сильное предположение. Например, если мы предположим, что все кратные волновой функции представляют одно и то же состояние, и постулируем, что транспозиция не меняет состояние, то мы имеем

ψ (р_{1}, р_{2}) "=" е^{я дельта} ψ (р_{2}, р_{1}) (*)

$\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = e^{i\delta}\psi(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)~~~(*)$ с

δ

$\delta$ константа, а остальную часть обычного аргумента можно использовать для вывода

e^{i δ} = \pm 1

$e^{i\delta} = \pm 1$ .

Вальтер Моретти · Answer 3

Современная версия принципа Паули требует полной антисимметрии состояния $n$ фермионы. Вместо этого аргумент, обсуждаемый в основной части вопроса, подразумевает только то, что состояние $n$ фермионы должны быть либо симметричными, либо антисимметричными при обмене парами частиц. Невозможно, следуя этому пути, доказать, что полное состояние либо полностью симметрично, либо полностью антисимметрично, так как разные пары частиц в состоянии могут иметь разный характер, порождая так называемую парастатистику. Фактически, в измерении 1+3 парастатистики запрещены вследствие ковариантности Пуанкаре теории (это знаменитая теорема о спиновой статистике ).
См. также мой ответ на вопрос «Ненужен ли постулат симметризации согласно Ландау-Лифшицу?»

Ссылка в вопросе правильная? Я не вижу вашего ответа на этот вопрос physics.stackexchange.com/q/73670/81224

Насколько аксиоматично требование симметризации (т.е. принцип Паули)? (в КМ)

пользователь35915

Вальтер Моретти

пользователь35915

джошфизика

пользователь35915

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Ответы (3)

джошфизика

Ян Лалински

Вальтер Моретти

Апурв Потнис

Разве четыре квантовых числа не делают два электрона различимыми?

Неразличимые частицы, когда волновые функции не перекрываются

Антисимметричное свойство фермионной волновой функции

Фермионы и принцип запрета Паули

Система двух частиц

Почему двухчастичные волновые функции сепарабельны, а соответствующие им частицы неразличимы одновременно?

Нарушают ли квантовые измерения требование симметризации?

Какова волновая функция системы, состоящей из фермионов и бозонов?

Принцип запрета Паули и идентичные фермионы

Одинаковые частицы, кажется, уменьшают вероятность