Как второй закон Ньютона соответствует ОТО в пределе слабого поля?

Теория тяготения Ньютона — это предел слабого поля и низкой скорости общей теории относительности, но точное соответствие между уравнениями и пределами отличается от того, что вы думаете.

В ОТО надо использовать как уравнения Эйнштейна, так и условие, что свободно падающие объекты движутся по геодезическим – времениподобным мировым линиям, которые максимизируют собственное время на них, т.е. удовлетворяют

$$\delta\int {\rm d}t_{\rm proper}=0$$ и эти два уравнения – уравнения Эйнштейна, описывающие гравитационное поле, создаваемое источниками гравитации; и геодезические уравнения, описывающие, как зонды реагируют на гравитационное поле, могут быть использованы для вывода $$\frac{GMm}{r^2} = m\vec{\ddot x }$$ или подобные классические уравнения (пожалуйста, добавьте единичный вектор в левую часть выше). Конечно, при этом он должен знать естественное описание классической гравитации в терминах гравитационного потенциала, уравнения Пуассона, которому она подчиняется, и других вещей. В ньютоновском пределе $g_{00}$компонента метрического тензора в значительной степени зависит от гравитационного потенциала $\Phi$как $g_{00}=1+2\Phi/c^2$, как видно из упрощения уравнений Эйнштейна в нерелятивистском пределе, где они сводятся в первую очередь к уравнению Пуассона, и это влияет на геодезические и т. д.

Можно также изучать движение несвободно падающих объектов в общей теории относительности и выводить уравнения для объектов, находящихся под действием многих сил, хотя формализм может выглядеть «продвинутым» на языке общей теории относительности, и в любом случае перерабатываются некоторые концепции классической физики. .