Сохранение углового момента вращения в тесной двойной системе

Question

Сохранение углового момента вращения в тесной двойной системе

Чам

Рассмотрим простую модель тесной звездной двойной системы с массой $m_1$ и $m_2 < m_1$ , двигаясь по круговым орбитам вокруг барицентра системы (для упрощения без эксцентриситета). Вращение обеих звезд постоянно заблокировано приливом. Полный угловой момент относительно барицентра сохраняется:

\begin{matrix} (1) & \vec{л} "=" {\vec{л}}_{1} + {\vec{л}}_{2} + {\vec{С}}_{1} + {\vec{С}}_{2} "=" постоянный, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} \vec{L} = \vec{L}_1 + \vec{L}_2 + \vec{S}_1 + \vec{S}_2 = \textrm{constant}, \end{equation}$ где

{\vec{S}}_{i}

$\vec{S}_i$ это вращение звезды (т.е. ее угловой момент вокруг собственного центра масс). Все эти векторы выровнены. Используя теорию тяготения Ньютона, мы можем доказать, что

\begin{matrix} (2) & л_{орбитальный} "=" | | {\vec{л}}_{1} + {\vec{л}}_{2} | | "=" \frac{м_{1} м_{2}}{м_{1} + м_{2}} \sqrt{г (м_{1} + м_{2}) а}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} L_{\text{orbital}} = || \vec{L}_1 + \vec{L}_2 || = \frac{m_1 \, m_2}{m_1 + m_2} \, \sqrt{G (m_1 + m_2) a}, \end{equation}$ где

a = r_{1} + r_{2}

$a = r_1 + r_2$ это расстояние между обеими звездами. Давай напишем

M \equiv m_{1} + m_{2}

$M \equiv m_1 + m_2$ для упрощения. Кроме того, поскольку звезды заперты приливом;

ω_{1} = ω_{2} = ω_{orbital} \equiv ω

$\omega_1 = \omega_2 = \omega_{\text{orbital}} \equiv \omega$ :

\begin{matrix} (3) & С_{малыш} "=" | | {\vec{С}}_{1} + {\vec{С}}_{2} | | "=" (я_{1} + я_{2}) ю, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} S_{\text{tot}} = || \vec{S}_1 + \vec{S}_2 || = (I_1 + I_2) \, \omega, \end{equation}$ где

I_{i}

$I_i$ - момент инерции звезды относительно ее центра. Если звезды имеют приблизительно сферическую форму, то

I_{i} = α_{i} m_{i} R_{i}^{2}

$I_i = \alpha_i \, m_i \, R_i^2$ , где

α_{i} \approx \frac{2}{5}

$\alpha_i \approx \frac{2}{5}$ (или любое число меньше 1). Орбитальная угловая скорость равна

\begin{matrix} (4) & ю "=" \sqrt{\frac{г М}{а^{3}}} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} \omega = \sqrt{\frac{GM}{a^3}}. \end{equation}$

Теперь предположим, что звездам разрешено обмениваться какой-либо материей: $m_1$ , $m_2$ , $a$ , $\omega$ , $I_1$ и $I_2$ теперь являются функциями времени ( $M$ однако сохраняется).

Если вся система изолирована, полный угловой момент (1) сохраняется.

Как мы можем обосновать, что оба $L_{\text{orbital}}$ и $S_{\text{tot}}$ отдельно сохраняются (может быть, приблизительно)?

ПрофРоб

Как вы предлагаете обменять дело? Должен быть аккреционный диск (с угловым моментом). Кроме того, нельзя обязательно предполагать, что радиус вращения не меняется в результате аккреции. Но, возможно, вы ищете кого-то, кто решит все эти сложности?

Чам

@RobJeffries, я думаю о тесной двойной системе, которая обменивает некоторую массу от одной звезды к другой. Каким бы ни был механизм (аккреционный диск?), как спиновый угловой момент должен быть связан с орбитальным угловым моментом? Конечно, из (2) и (3) выше:

L_{tot} = L_{orbital} + S_{tot}

$L_{\text{tot}} = L_{\text{orbital}} + S_{\text{tot}}$ сохраняется, но это не говорит о том,

L_{orbital}

$L_{\text{orbital}}$ и

S_{tot}

$S_{\text{tot}}$ сохраняются отдельно. Я ожидаю, что они не сохраняются отдельно, но как они должны быть связаны?

Ответы (1)

Сохранение углового момента вращения в тесной двойной системе

Как вы предлагаете обменять дело? Должен быть аккреционный диск (с угловым моментом). Кроме того, нельзя обязательно предполагать, что радиус вращения не меняется в результате аккреции. Но, возможно, вы ищете кого-то, кто решит все эти сложности?
@RobJeffries, я думаю о тесной двойной системе, которая обменивает некоторую массу от одной звезды к другой. Каким бы ни был механизм (аккреционный диск?), как спиновый угловой момент должен быть связан с орбитальным угловым моментом? Конечно, из (2) и (3) выше: $L_{\text{tot}} = L_{\text{orbital}} + S_{\text{tot}}$ сохраняется, но это не говорит о том, $L_{\text{orbital}}$ и $S_{\text{tot}}$ сохраняются отдельно. Я ожидаю, что они не сохраняются отдельно, но как они должны быть связаны?

Паур · Answer 1

Этот метод взят из классической механики Тейлора в разделе «Задачи двух тел с центральными силами». Это гораздо глубже, чем нужно, и предполагает однородную плотность звезд для простоты расчетов (хотя это и не обязательно).

tl:dr: лагранжиан не зависит от угла каждой звезды от центра масс и от угла вращения каждой звезды, поэтому общий орбитальный момент и угловой момент вращения каждой звезды сохраняются независимо. Это достигается изменением массы с учетом изменения скорости вращения. Обратите внимание, что для этого не требуется приливная блокировка или круговые орбиты.

Брать $\vec{R}$ находиться в центре масс.

\vec{р} "=" \frac{м_{1} \dot{} {\vec{р}}_{1} + м_{2} \dot{} {\vec{р}}_{1}}{м_{1} + м_{2}} "=" \frac{м_{1} \dot{} {\vec{р}}_{1} + м_{2} \dot{} {\vec{р}}_{2}}{М}

$\vec{R}=\frac{m_1\dot{}\vec{r}_1+m_2\dot{}\vec{r}_1}{m_1+m_2}=\frac{m_1\dot{}\vec{r}_1+m_2\dot{}\vec{r}_2}{M}$

где $M≡m_1+m_2$ .

Мы можем впоследствии определить $\vec{r}_1=\vec{R}+\frac{m_2}{M}\vec{r}$ и $\vec{r}_2=\vec{R}-\frac{m_1}{M}\vec{r}$ , где $\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2$

Кинетическая энергия

Т "=" \frac{1}{2} (м_{1} {\dot{\vec{р}}}_{1}^{2} + м_{2} {\dot{\vec{р}}}_{2}^{2} + \frac{2}{5} м_{1} с_{1}^{2} ю_{1}^{2} + \frac{2}{5} м_{2} с_{2}^{2} ю_{2}^{2})

$T=\frac{1}{2}(m_1\dot{\vec{r}}^2_1+m_2\dot{\vec{r}}^2_2+\frac{2}{5}m_1 s_1^2\omega_1^2+\frac{2}{5}m_2 s_2^2\omega_2^2)$

где $s_i$ - радиусы звезд, а $\omega _i$ – скорости вращения (не орбитальные). Мы можем сократить это до

Т "=" \frac{1}{2} (м_{1} {\dot{\vec{р}}}_{1}^{2} + м_{2} {\dot{\vec{р}}}_{2}^{2} + \frac{2}{5} м_{1} с_{1}^{2} ю_{1}^{2} + \frac{2}{5} м_{2} с_{2}^{2} ю_{2}^{2})

$T=\frac{1}{2}(m_1\dot{\vec{r}}^2_1+m_2\dot{\vec{r}}^2_2+\frac{2}{5}m_1 s_1^2\omega_1^2+\frac{2}{5}m_2 s_2^2\omega_2^2)$

Т "=" \frac{1}{2} [м_{1} (\dot{\vec{р}} + \frac{м_{2}}{М} \dot{\vec{р}})^{2} + м_{2} (\dot{\vec{р}} - \frac{м_{1}}{М} \dot{\vec{р}})^{2}] + \frac{1}{5} (м_{1} с_{1}^{2} ю_{1}^{2} + м_{2} с_{2}^{2} ю_{2}^{2})

$T=\frac{1}{2}[m_1(\dot{\vec{R}}+\frac{m_2}{M}\dot{\vec{r}})^2+m_2(\dot{\vec{R}}-\frac{m_1}{M}\dot{\vec{r}})^2]+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\omega_1^2+m_2 s_2^2\omega_2^2)$

Т "=" \frac{1}{2} [М {\dot{\vec{р}}}^{2} + \frac{м_{1} м_{2}}{М} {\dot{\vec{р}}}^{2}] + \frac{1}{5} (м_{1} с_{1}^{2} ю_{1}^{2} + м_{2} с_{2}^{2} ю_{2}^{2})

$T=\frac{1}{2}[M\dot{\vec{R}}^2+\frac{m_1 m_2}{M}\dot{\vec{r}}^2]+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\omega_1^2+m_2 s_2^2\omega_2^2)$

Это позволяет нам определить новую величину, приведенную массу: $\mu≡\frac{m_1 m_2}{M}$ . Мы наконец получаем

Т "=" \frac{1}{2} М {\dot{\vec{р}}}^{2} + \frac{1}{2} мю {\dot{\vec{р}}}^{2} + \frac{1}{5} (м_{1} с_{1}^{2} ю_{1}^{2} + м_{2} с_{2}^{2} ю_{2}^{2})

$T=\frac{1}{2}M\dot{\vec{R}}^2+\frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^2+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\omega_1^2+m_2 s_2^2\omega_2^2)$

Для полного лагранжиана, взяв потенциальную энергию $U=U(r)$ , то получаем

л "=" Т - U "=" \frac{1}{2} М {\dot{\vec{р}}}^{2} + \frac{1}{2} мю {\dot{\vec{р}}}^{2} + \frac{1}{5} (м_{1} с_{1}^{2} ю_{1}^{2} + м_{2} с_{2}^{2} ю_{2}^{2}) - U (р) .

$L=T-U=\frac{1}{2}M\dot{\vec{R}}^2+\frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^2+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\omega_1^2+m_2 s_2^2\omega_2^2)-U(r).$ Мы видим, что, поскольку лагранжиан не зависит от

\vec{R}

$\vec{R}$ , что

M \ddot{\vec{R}} = 0

$M\ddot{\vec{R}}=0$ или

\dot{\vec{R}} = c o n s t .

$\dot{\vec{R}}=const.$ . Это говорит нам , что полный импульс сохраняется , наш первый закон сохранения. Это связано с тем, что в закрытой системе

\dot{m_{1}} = - \dot{m_{2}}

$\dot{m_1}=-\dot{m_2}$ , так

\dot{M} = 0

$\dot{M}=0$ .

С $\dot{\vec{R}}=const.$ , мы можем перейти в рамку покоя CM, поэтому $\dot{\vec{R}}=0$ .

л "=" \frac{1}{2} мю {\dot{\vec{р}}}^{2} + \frac{1}{5} (м_{1} с_{1}^{2} ю_{1}^{2} + м_{2} с_{2}^{2} ю_{2}^{2}) - U (р) .

$L=\frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^2+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\omega_1^2+m_2 s_2^2\omega_2^2)-U(r).$

Позволять $\dot{\vec{r}}^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2$ , $\omega_i ^2=\dot{\theta}_i^2$ .

л "=" \frac{1}{2} мю ({\dot{р}}^{2} + р^{2} {\dot{ф}}^{2}) + \frac{1}{5} (м_{1} с_{1}^{2} {\dot{θ}}_{1}^{2} + м_{2} с_{2}^{2} {\dot{θ}}_{2}^{2}) - U (р) .

$L=\frac{1}{2}\mu(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\dot{\theta}_1^2+m_2 s_2^2\dot{\theta}_2^2)-U(r).$

Лагранжиан не зависит от $\phi$ , поэтому снова получаем уравнение сохранения.

\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial \dot{ф}} "=" 0

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=0$

\frac{\partial л}{\partial \dot{ф}} "=" мю р^{2} \dot{ф} "=" с о н с т "=" л_{о р б я т}

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=\mu r^2\dot{\phi}=const=l_{orbit}$

Это говорит нам о том, что орбитальный угловой момент сохраняется. Видимо

мю р^{2} \ddot{ф} + 2 мю р \dot{р} \dot{ф} + \dot{мю} р^{2} \dot{ф} "=" 0.

$\mu r^2 \ddot{\phi} + 2 \mu r \dot{r} \dot{\phi} + \dot{\mu} r^2 \dot{\phi} = 0.$

Если бы тебе было любопытно, $\dot{\mu}=\frac{\dot{m}_2 (m_1-m_2)}{M}=\frac{\dot{m}_1 (m_2-m_1)}{M}$ .

Опять же, поскольку лагранжиан не зависит от обоих $\theta _1$ и $\theta _2$ , индивидуальный угловой момент вращения каждой звезды сохраняется.

Мы можем найти это

\frac{2}{5} м_{я} с_{я}^{2} {\dot{θ}}_{я} "=" с о н с т "=" л_{р о т, я}

$\frac{2}{5}m_i s_i ^2 \dot{\theta}_i = const = l_{rot,i}$ и видимо

м_{я} с_{я}^{2} {\ddot{θ}}_{я} + 2 м_{я} с_{я} \dot{с_{я}} {\dot{θ}}_{я} + {\dot{м}}_{я} с_{я}^{2} {\dot{θ}}_{я} "=" 0,

$m_i s_i ^2 \ddot{\theta}_i + 2 m_i s_i \dot{s_i} \dot{\theta}_i + \dot{m}_i s_i ^2 \dot{\theta}_i = 0,$ давая нам наше последнее уравнение ограничения. Решение лагранжиана для

r

$r$ сообщает нам уравнения движения.

Я думаю, это с самого начала предполагает, что между обеими звездами нет массообмена. Это верно ?
Нет, я считаю, что это не предполагает, что. Определение центра масс и приведенной массы не предполагает, что $\frac{d}{dt} m=0$ , и мы не берем $\frac{d}{dt} m=0$ при изучении уравнений Лагранжа. Как вы думаете, почему он предполагает это? Я могу более внимательно рассмотреть предположения.
Судя по всему, в вашем лагранжиане нет ни механизма массопереноса, ни кинетического термина для него, ни чего-то еще. Я чувствую, что это подозрительно.

Сохранение углового момента вращения в тесной двойной системе

Чам

ПрофРоб

Чам

Ответы (1)

Паур

Чам

Паур

Чам

Марсианин Марвин против Звезды Смерти: сколько энергии им на самом деле понадобится, чтобы разрушить Землю?

Какие факторы могут помочь машине перевернуться на повороте?

Ускорение в эллиптической двойной системе

Что произойдет, если вращение Земли замедлится? [закрыто]

Как эта многотельная система будет вращаться в свободном пространстве?

Как вращающийся объект «знает», что он вращается?

Теорема Бертрана

Динамика попарных расстояний в задаче nnn-тел

Сохранение углового момента против закона Кеплера

В чем причина вращения планет. Не орбитальное вращение [закрыто]