Динамика попарных расстояний в задаче nnn-тел

Question

Динамика попарных расстояний в задаче nnn-тел

куча

Рассмотрим $n$ -проблема с телом, где нас интересует описание временной эволюции $n$ массы, взаимодействующие через потенциал $U$ . Позволять $D$ — матрица, содержащая все попарные расстояния между нашими массами; то есть

Д_{я Дж} "=" \sqrt{({Икс}_{я} - {Икс}_{Дж})^{2} + (у_{я} - у_{Дж})^{2} + (г_{я} - г_{Дж})^{2}}

$D_{ij} = \sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 + (z_i - z_j)^2}$ где

x_{i}, y_{i}, z_{i}

$x_i, y_i, z_i$ — декартовы координаты

i

$i$ й массы. Предположим, что

U

$U$ зависит только от

D

$D$ , а не отдельные позиции. [1]

Меня интересует нахождение дифференциального уравнения, описывающего эволюцию во времени $D$ , без появления в нем отдельных позиций. Можем ли мы сформулировать такое уравнение в классической механике?

[1] Это действительно верно для ньютоновского закона всемирного тяготения, но не обязательно для общего потенциала.

лимон

Конечно, уравнение Эйлера-Лагранжа с

D_{i j}

$D_{ij}$ как ваши обобщенные координаты.

куча

@lemon: я действительно думал об этом раньше, но не был уверен, как это сработает. Есть две проблемы, которые я не могу обойти: (1) Обобщенные координаты должны однозначно определять отдельные позиции, не так ли? Наш

D_{i j}

$D_{ij}$ не имеют этого свойства. (2) Независимо от первого вопроса, как выразить кинетическую энергию с помощью таких выражений, как

\partial D_{i j} / \partial t

$\partial D_{ij} / \partial t$ мне не очевидно. Я пытался это сделать, но быстро столкнулся с такими терминами, как

\partial r_{k} / \partial D_{i j}

$\partial \mathbf{r}_k / \partial D_{ij}$ , что не позволило мне полностью избавиться от позиций.

Ответы (1)

Динамика попарных расстояний в задаче nnn-тел

Конечно, уравнение Эйлера-Лагранжа с $D_{ij}$ как ваши обобщенные координаты.
@lemon: я действительно думал об этом раньше, но не был уверен, как это сработает. Есть две проблемы, которые я не могу обойти: (1) Обобщенные координаты должны однозначно определять отдельные позиции, не так ли? Наш $D_{ij}$ не имеют этого свойства. (2) Независимо от первого вопроса, как выразить кинетическую энергию с помощью таких выражений, как $\partial D_{ij} / \partial t$ мне не очевидно. Я пытался это сделать, но быстро столкнулся с такими терминами, как $\partial \mathbf{r}_k / \partial D_{ij}$ , что не позволило мне полностью избавиться от позиций.

Арнольд Ноймайер · Answer 1

Из уравнений $\dot q = p/m$ и $\dot p=V'(q)$ и определение $Q=D(q)$ можно получить дифференцированием $m\dot Q=D'(q)p$ и $\ddot m^2Q=D''(q)pp-mD'(q)V'(q)$ , где $m$ диагональная матрица масс. Второе уравнение дает ОДУ для $Q$ если вы можете выразить $p$ с точки зрения $\dot Q$ с точностью до членов в нулевом пространстве $D''(q)$ (т.е. степени свободы перевода и вращения). Это должно быть возможно из первого уравнения, которое сильно недоопределено и, следовательно, должно иметь много решений.

Для того, чтобы сделать это, я бы сначала попробовал (но мне лень это делать) $k$ - случай частицы для $k=2,3,4$ чтобы увидеть, существует ли хорошая формула. Дело $k=4$ должно быть уже достаточно общим, чтобы угадать формулу для общего $k$ .

Здравствуйте, профессор Ноймайер. Я хотел бы изучить предложенный вами подход и посмотреть, к чему он ведет. Я могу попросить разъяснений в ближайшее время. Спасибо за ответ.
@iheap: я заметил, что упустил некоторые факторы $m$ ; сейчас исправлено.
Здравствуйте, профессор Ноймайер! Прошел почти год с тех пор, как Вы предложили возможный способ решения этого вопроса. Я попытался последовать вашему совету для $k = 3$ случае, но безуспешно. Не могли бы вы сотрудничать со мной в решении этой проблемы? Спасибо!
@iheap: вероятно, проще вывести дифференциальные уравнения для $c_{ij}=D_{ij}^2$ . Это избавляет от всех квадратных корней и упрощает все вычисления. В конце можно преобразовать дифференциальные уравнения в одно для самих расстояний. Если вы по-прежнему не можете справиться с этой версией в квадрате, задайте задачу (в квадрате) со своими частичными результатами на physicsoverflow.org , где (в отличие от здесь) возможно неограниченное обсуждение, и я помогу вам.

Динамика попарных расстояний в задаче nnn-тел

куча

лимон

куча

Ответы (1)

Арнольд Ноймайер

куча

Арнольд Ноймайер

куча

Арнольд Ноймайер

Запутался в гравитации и весе [закрыто]

Решите для начальной скорости снаряда с учетом угла, силы тяжести, а также начального и конечного положения?

Марсианин Марвин против Звезды Смерти: сколько энергии им на самом деле понадобится, чтобы разрушить Землю?

Какова была начальная скорость самодельного ружья, выпущенного прямо вверх, если время полета составляло 8,2 секунды?

Почему период обращения двух звезд, обращающихся вокруг одного центра, одинаков?

Поместите пулю на орбиту вокруг Луны

Определить начальную скорость брошенного предмета (С сопротивлением воздуха)

Почему угол наклона не влияет на то, насколько высоко запущенный объект будет скользить по пандусу без трения?

Как рассчитать центр масс полой полусферы некоторой толщины?

В этой конкретной задаче: является ли масса системы массой человека?