Теорема Бертрана

И) Предположим, что

$$\mathbb{R}_{\geq 0}~\ni~ r \quad\stackrel{V_{\rm eff}}{\mapsto} \quad V_{\rm eff}(r)~\in~ \mathbb{R}$$

является непрерывной функцией. Тогда закон сохранения энергии читается

$$E~=~ \frac{m}{2} \dot{r}^2+ V_{\rm eff}(r).$$

Необходимым и достаточным условием существования радиально ограниченной орбиты (не обязательно периодической/замкнутой или устойчивой) является существование уровня энергии$E$такое, что хотя бы одна из компонент связности (обязательно являющихся интервалами или точками) прообраза

$$V_{\rm eff}^{-1}(]-\infty,E]) ~\subseteq~ \mathbb{R}_{\geq 0}$$

является радиально ограниченным множеством .

II) По-видимому, единственное место, где Гольдштейн (в своей книге «Классическая механика ») рассматривает условие вогнутости

$$V_{\rm eff}^{\prime\prime}(r)~>~0$$

находится в начале раздела 3.6, где он обсуждает устойчивые круговые орбиты. Он использует вогнутость, чтобы заключить относительно мягкое неравенство$p>-3$для степенной силы$f(r) \propto r^p$.

На более прозаическом уровне, чем Qmechanic...

Как использовал Гольдштейн, условие положительной вогнутости:

$$\frac{d^2 V_{\rm eff}}{dr^2} > 0$$

требуется для устойчивости круговой орбиты. (Вторая производная оценивается по радиусу орбиты.)

Во-первых, такая орбита может существовать только в экстремуме$V_{\rm eff}$, где радиальная сила (отрицательная первая производная$V_{\rm eff}$) равно 0:

$$-\frac{dV_{\rm eff}}{dr} = 0$$

(Иначе это не была бы равновесная орбита.)

Чтобы проверить устойчивость, представьте, что орбита слегка отклоняется на$\Delta r$, из положения равновесия. Тогда радиальная сила$f_r$больше не равен нулю: путем разложения Тейлора потенциала вокруг равновесия (помня, что линейный член равен 0 по предположению) можно найти версию закона Гука:

$$f_r = - \frac{d^2 V_{\rm eff}}{dr^2} \Delta r$$

Эта сила восстанавливающая (стабилизирующая), если вогнутость положительна, и дестабилизирующая, если вогнутость отрицательна.

Эта ситуация аналогична вертикальному маятнику. Имеются два равновесия: 1) маятник покоится внизу и 2) покоится вверху. Нижняя точка равновесия устойчива, а верхняя неустойчива.

Как отмечают другие, это условие не является теоремой Бертрана, касающейся замкнутых орбит в целом (а не только круговых).