Как выглядит момент Земли J₂₂?

Геопотенциальная модель Википедии дает форму потенциального компонента, связанного с Дж 2 как

ты "=" Дж 2 п 2 0 ( грех ⁡ θ ) р 3 "=" Дж 2 1 р 3 1 2 ( 3 грех 2 ⁡ θ − 1 ) "=" Дж 2 1 р 5 1 2 ( 3 г 2 − р 2 )

а компоненты ускорения (градиент этого потенциала):

а Икс "=" Дж 2 Икс | р | 7 ( 6 г 2 − 1,5 ( Икс 2 + у 2 ) )

а у "=" Дж 2 у | р | 7 ( 6 г 2 − 1,5 ( Икс 2 + у 2 ) )

а г "=" Дж 2 г | р | 7 ( 3 г 2 − 4,5 ( Икс 2 + у 2 ) ) .

Из модели геопотенциала и этого ответа .

я наметил ты и | а | ниже для Икс г самолет, где г является осью вращения Земли. Распределение в трех измерениях просто повернуто вокруг г ось.

Вопрос: Дж 2 является доминирующей частью квадрупольного момента Земли, но это только один компонент.

  1. Делает Дж 22 представляют остальную часть квадрупольного момента Земли?
  2. Что значит Дж 22 выглядит как? Какова его форма и симметрия?

потенциал и ускорение из-за Земли J2

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Re = 6378137. # meters
J2 = 1.7555E+25 # m^5/s^2
hw = 400
x = np.linspace(-2.5*Re, 2.5*Re, 2*hw+1)
x, z = np.meshgrid(x, x)
y = np.zeros_like(x)
x2, y2, z2 = [w**2 for w in (x, y, z)]
r2 = x2 + y2 + z2
r = np.sqrt(r2)
r7 = r**7

u = J2 * r**-5 * 0.5 * (3*z2 - r**2)
ax = J2 * (x/r7) * (6*z2 - 1.5*(x2+y2)) 
ay = J2 * (y/r7) * (6*z2 - 1.5*(x2+y2)) 
az = J2 * (z/r7) * (3*z2 - 4.5*(x2+y2)) 

for thing in (u, ax, ay, az):
    thing[r<Re] = np.nan

axz = np.sqrt(ax**2 + az**2)

if True:
    plt.figure()
    plt.subplot(1, 2, 1)
    umax = np.nanmax(np.abs(u))
    plt.imshow(u, cmap='seismic', vmin=-umax, vmax=umax)
    plt.colorbar()
    plt.title('specific potential energy (J/kg)', fontsize=16)
    plt.plot([hw, hw], [0.3*hw, 1.7*hw], '-k')
    plt.xlim(0, 2*hw+1)
    plt.ylim(0, 2*hw+1)
    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.imshow(axz, cmap='inferno')
    plt.colorbar()
    plt.title('acceleration magnitude (m/s^2)', fontsize=16)
    plt.plot([hw, hw], [0.3*hw, 1.7*hw], '-k')
    plt.xlim(0, 2*hw+1)
    plt.ylim(0, 2*hw+1)
    plt.suptitle("Earth's geopotential's J2 component", fontsize=16)
    plt.show()
@gerrit Я должным образом предупрежден! Я получил это в первый раз, когда i.stack.imgur.com/1XdmH.png из Python 3 по умолчанию matplotlib, поэтому я быстро использовал свой старый Python 2, который по умолчанию имеет значение jet. Помню, читал твит со старым хайку о Джете, но сейчас не могу его найти. Я включил «Не используйте Jet!» в том и в этом сюжете и извинился за это и в одном из них. Я поищу лучший cmap и обновлю ;-)
@gerrit почему-то мне кажется, что теперь это выглядит более отвлекающим, но я обновил цветовые карты.
Рекомендую colorbrewer2 :)

Ответы (2)

Представляет ли J 22 остальную часть квадрупольного момента Земли?

При более привычном обозначении l степени , m порядка выделяют зональную l 2 m 0 , тессеральную l 2 m 1 и секторальную l 2 m 2 сферические гармоники, но вы, наверное, уже знаете.

Как выглядит J 22 ? Какова его форма и симметрия?

Вот что я получаю за л 2 м 2 :

введите описание изображения здесь

Для сравнения, вот что я получаю для вашего графика "величины ускорения" (l 2 m 0 ) (неясно, что представляет собой 800):

введите описание изображения здесь

Спасибо за ваш ответ! Чтобы перепроверить, ответ на вопрос «Есть ли Дж 22 представляет собой остальную часть квадрупольного момента Земли?» Нет ? Дж 21 также? Делает я и Дж представлять одно и то же?
Неформально говоря, в геодезии мы рассматриваем квадруполь как нечто, действующее на плоскости (гравитационный, магнитный, электрический квадруполь), следовательно, для представления квадрупольного момента Земли необходимо бесконечное число сферических гармоник; так что мой ответ "нет".

Википедия на самом деле подробно описывает компоненты гравитационного силового поля Земли.

В Википедии ссылки у нас нет Дж м , н для м > н > 0 . Скорее этот член разбит на косинусную составляющую С н м и синусоидальная составляющая С н м . В этой таблице приведены результаты одной из серии моделей, называемых моделями JGM, разработанных Космическим центром Годдарда:

Зональные коэффициенты

  н 2 − 0,1082635854 Д − 02 3 0,2532435346 Д − 05 4 0,1619331205 Д − 05 5 0,2277161016 Д − 06 6 − 0,5396484906 Д − 06 7 0,3513684422 Д − 06 8 0.2025187152 Д − 06

Тессеральные коэффициенты [так в оригинале; случаи с н "=" м являются отраслевыми]

н м С С 2 1 − 0,3504890360 Д − 09 0,1635406077 Д − 08 2 2 0,1574536043 Д − 05 − 0,9038680729 Д − 06 3 1 0,2192798802 Д − 05 0,2680118938 Д − 06 3 2 0,3090160446 Д − 06 − 0,2114023978 Д − 06 3 3 0,1005588574 Д − 06 0.1972013239 Д − 06 4 1 − 0,5087253036 Д − 06 − 0,4494599352 Д − 06 4 2 0,7841223074 Д − 07 0,1481554569 Д − 06 4 3 0,5921574319 Д − 07 − 0.1201129183 Д − 07 4 4 − 0,3982395740 Д − 08 0,6525605810 Д − 08

Здесь Д означает умножение на степень десяти, за которой следует показатель степени, таким образом Д − 05 значит умножить на 10 − 5 . Абсолютные значения приведенных выше чисел представляют относительную силу гравитационного потенциала, возникающего из-за компонента сферической гармоники, на расстоянии, равном среднему радиусу Земли, и с компонентом изотропной «сферической массы» (который был бы Дж 0 в этой номенклатуре) масштабируется до 1,0 .

Теперь предположим, что вы выводите спутник на низкую околоземную орбиту с радиальным расстоянием, практически равным указанному выше эталону. Среди квадрупольных компонент явно Дж 2 самый большой, с С 2 1 и С 2 1 на много порядков меньше и С 2 2 и С 2 2 попадание между ними. Таким образом, вы можете оправданно описать квадруполь только с помощью ( 2 , 0 ) ( Дж 2 ) и ( 2 , 2 ) ( С 2 2 , С 2 2 ) компонентов, игнорируя очень малюсенькие ( 2 , 1 ) куски.

Но это еще не все. В то время как оставшийся квадрупольный компонент крошечный у поверхности Земли, некоторые полярные компоненты более высокого порядка ( н ≥ 3 ) не. Если вы включаете ( 2 , 2 ) компоненты квадруполя для моделирования вашего движения на низкой околоземной орбите, вы также должны включить по крайней мере аналогичный размер ( 3 , 0 ) , ( 3 , 1 ) и ( 4 , 0 ) условия, чтобы действительно улучшить вашу точность по вращательно-симметричному квадруполю. Отклонения от ритационно-симметричного квадруполя более сложны, чем просто дополнительная квадрупольная составляющая.

Причина этого в том, что отклонения от вращательно-симметричного квадруполя определяются распределением крупномасштабных географических объектов, таких как горные хребты, бассейны и границы тектонической субдукции. Такие особенности на Земле слишком сложны, чтобы их можно было уловить с помощью одной или двух сферических гармонических составляющих. Если вам нужно зафиксировать геологическую сложность Земли для моделирования вашего спутника, вам потребуется множество членов сферических гармоник.

Вы можете упростить ситуацию, если вместо этого запускаете свой спутник на большую высоту, скажем, на геостационарную орбиту. Компоненты с большим н значения исчезают быстрее с расстоянием, чем значения с меньшими значениями, поэтому в зависимости от требуемой точности вы можете исключить те ( 3 , м ) и ( 4 , 0 ) компоненты. Географические бородавки, которые мы видим вблизи, сглаживаются при более отдаленном взгляде. Вот где вы, скорее всего, преуспеете, просто Дж 2 , С 2 2 , и С 2 2 .

Земля — не единственное тело с такими гравитационными сложностями. Любое якобы гидростатически уравновешенное, но твердое тело, скорее всего, будет иметь свои собственные географические шероховатости. Марс, в частности, имеет большую разницу высот между севером и югом, бассейн Эллады и гору Олимп. Если мы хотим отслеживать орбитальный аппарат Марса с высокой точностью, нам лучше освежить наши сферические гармоники.

Итак, чтобы перепроверить, что я понимаю, 1) Дж 22 - это всего лишь величина, и записанное как одно число не имеет достаточно информации, чтобы показать изменение в зависимости от долготы. 2) то же самое для Дж 21 но он очень мал и редко упоминается сам по себе.
Угу, вот так.
@OscarLanzi вы помещаете n = m членов в свою таблицу «Коэффициенты Tesseral», но когда n = m, этот коэффициент называется «секторальным».
Таблица взята из исходной статьи. Смотрите аннотацию, которую я добавил.
Как выглядит момент Земли J₂₂?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v