Как выполнить интегралы по многомерной дельта-функции?

Самый простой способ решить эту проблему — и, в частности, способ, который сводит к минимуму вероятность того, что все испортится, — это переключиться на одну координату внутри дельта-функции. В вашем случае это просто - просто выберите подходящее полярное представление: установите

$$\begin{align} q& = A\, r\cos(\theta)\\ p& = B\, r\sin(\theta), \end{align}$$ и требуют, чтобы $\frac{1}{2m}A^2 = \frac{k}{2}B^2$(например, через $A=1$, $B=1/\sqrt{mk}$) получить $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \mathrm dp\int_{-\infty}^\infty \mathrm dq \,\delta(E-\frac{1}{2m}p^2-\frac{k}{2}q^2) &= B\int_0^\infty r\:\mathrm dr \int_0^{2\pi}\mathrm d\theta \, \delta(E-\frac{1}{2m}r^2) \\&= \frac{2\pi}{\sqrt{mk}}\int_0^\infty \delta(E-\frac{1}{2m}r^2) r\:\mathrm dr. \end{align}$$ Оттуда измените переменные на $u=r^2/2m$, так что $\mathrm du=r\,\mathrm dr/m$, что дает вам $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \mathrm dp\int_{-\infty}^\infty \mathrm dq \,\delta(E-\frac{1}{2m}p^2-\frac{k}{2}q^2) &= \frac{2m\pi}{\sqrt{mk}}\int_0^\infty \delta(E-u) \mathrm du, \end{align}$$ и это сводится к результату, который вы цитируете, поскольку $\int_0^\infty \delta(E-u) \mathrm du=1$в любое время $E>0$.

Идея здесь состоит в том, чтобы использовать следующее свойство дельта-функции:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(f(x))g(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{r}\frac{g(r)}{|f'(r)|}$$

Где сумма колеблется по всем значениям$r$такой, что$f(r)=0$. Это в основном то, что происходит, когда вы меняете переменные для выполнения интеграла.

Если мы позволим$f(p)=p^2/2m+kq^2/2-E$, затем$f=0$в$p_{\pm}=\pm\sqrt{2mE-kmq^2}$, что реально только для$kq^2\leq 2E$. У нас также есть$|f'(p_{\pm})|=\sqrt{(2E-kq^2)/m}$, пока$kq^2\leq 2E$. Таким образом, мы можем выполнить$p$интеграл, чтобы получить

$$2\int_{-\sqrt{2E/k}}^{\sqrt{2E/k}}\mathrm{d}q\,\sqrt{\frac{m}{2E-kq^2}}=\sqrt{\frac{4m}{k}}\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Это именно то, что вы получили!

Надеюсь, это помогло!