Мнимая часть свободной энергии - теорема Сохоцкого Племени

Question

Мнимая часть свободной энергии - теорема Сохоцкого Племени

Смердяков

Я уже разместил этот вопрос на Math Stack Exchange, и я надеюсь, что не буду раздражать сообщество, если я опубликую его здесь снова, возможно, в поисках более подходящей аудитории. Мне нужно понять, как рассчитывается следующий лимит (уравнение (9) в статье , а также это ).

\underset{ϵ \to + 0}{лим} Z (- п + я ϵ) "=" \underset{ϵ \to + 0}{лим} \int_{0}^{\infty} г Икс \int_{0}^{\infty} г у опыт {- α у - β {Икс}^{2} - у (- п + я ϵ) Икс}

$\lim_{\epsilon \to +0}Z(-P+i\epsilon) = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{0}^{\infty} \mathrm{d}x \, \int_{0}^{\infty} \mathrm{d}y \exp \{ -\alpha y -\beta x^2 - y(-P+i \epsilon)x \}$

Автор говорит, что следует использовать теорему Сохоцкого – Племеля.

\underset{ϵ \to + 0}{лим} \int г Икс ф (Икс) / (Икс + я ϵ) "=" п . В . \int г Икс ф (Икс) / Икс - я π ф (0)

$\lim_{\epsilon \to +0} \int \mathrm{d}x f(x)/(x+i \epsilon) = P.V. \int \mathrm{d}x f(x)/x -i \pi f(0)$

но как туда попасть? Моя лучшая попытка - интегрироваться в $y$ переменная, получение

Z (- п) \underset{ϵ \to + 0}{лим} \int_{0}^{\infty} г Икс опыт {- β {Икс}^{2}} [- \frac{1}{- α - (- п + я ϵ) Икс}]

$Z(-P) \lim_{\epsilon \to +0} \int_{0}^{\infty} \mathrm{d}x \, \exp \{ -\beta x^2 \} \left [- \frac{1}{-\alpha-(-P+i \epsilon)x} \right]$

[РЕДАКТИРОВАТЬ: Этот шаг интегрирования полностью игнорирует тот факт, что интеграл не сходится для действительной части P меньше нуля ... Но тогда автор заявляет функцию $Z(P)$ голоморфна во всей комплексной плоскости, за исключением ветви, срезанной от отрицательной бесконечности до нуля. Возможно, здесь я ошибаюсь. Является ли функция

Д (п) "=" \int_{0}^{\infty} е^{- п Икс} г Икс

$Y(P) = \int_{0}^{\infty} e^{-Px}\mathrm dx$ определено везде в комплексной плоскости, кроме отрицательной полуоси?]

Чтобы использовать теорему, мне нужно, чтобы знаменатель содержал множитель $x+i \epsilon$ , что не так как переменная интегрирования умножается bz $\epsilon$ , поэтому я не могу продолжить. Я еще больше озадачен, потому что если я поставлю $\epsilon$ равен нулю, интеграл, который я написал, совпадает с интегралом PV, приведенным в статье как вклад PV в формуле Сохоцкого-Племеля (последняя строка уравнения (9). Член, соответствующий $i\pi f(0)$ содержит $P$ в качестве аргумента экспоненты, которую я тоже совершенно не понимаю.

Любая помощь, даже слабый намек, будет принята с благодарностью.

[РЕДАКТИРОВАТЬ] Я думаю, что будет справедливо сообщить об исходном выводе, который я пытаюсь понять, уравнение (9) из цитируемой выше статьи. Мой вопрос заключается в том, как работает этот вывод: как можно проинтегрировать экспоненту с положительным аргументом (как это происходит, когда P положительно, что представляет интерес с физической точки зрения), и как именно используется теорема Сохоцкого-Племеня. Кроме того, как автор может утверждать $Z(P)$ голоморфна во всей комплексной плоскости, за исключением ветви, отрезанной от отрицательной бесконечности до нуля, когда действительная часть аргумента экспоненты положительна (поскольку -P предшествует знак минус). Исходное уравнение содержит ряд констант: для ясности и следуя совету, я установил их равными 1, когда это возможно.

\begin{aligned} Z (- п) & "=" \underset{ϵ \to 0 +}{лим} Z (- п + я ϵ) \\ "=" \int_{0}^{\infty} г л \int_{0}^{\infty} г в опыт [- (2 л + \frac{1}{4 (1 - о^{2})} в^{2} + \frac{л (- п + я ϵ)}{2} в)] \\ "=" п . В . \int_{0}^{\infty} г в \frac{опыт [- (в^{2}) / 4 (1 - о^{2})]}{4 - п в} - \frac{2 я}{п} опыт [\frac{- 4}{п^{2} (1 - о^{2})}] \end{aligned}

$\begin{align}Z(-P) &= \lim_{\epsilon \to 0+} Z(-P+i\epsilon) \\ &= \int_{0}^{\infty}\mathrm{d}l \int_{0}^{\infty}\mathrm{d}v \exp\left[-(2\ l + \frac{1 }{4(1-\sigma^2)}v^2+\frac{l (-P+i\epsilon)}{2}v)\right] \\&= \,\, P.V.\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}v\frac{\exp\left[-( v^2)/4(1-\sigma^2)\right]}{4 - P v} - \frac{2i}{ P}\exp\left[\frac{-4 }{ P^2(1-\sigma^2)}\right]\end{align}$

СлучайныйПреобразование Фурье

Но

i ε = i a ε

$i\varepsilon=ia\varepsilon$ для любого

a > 0

$a>0$ .

Смердяков

Для

a

$a$ постоянный я мог бы понять ... но

x

$x$ - это переменная интегрирования. Я, вероятно, полностью упускаю из виду вашу точку зрения...

СлучайныйПреобразование Фурье

Я думаю, вы совсем не упускаете мою мысль: для каждого

x \in (0, \infty)

$x\in(0,\infty)$ вы можете использовать

i ε = i x ε

$i\varepsilon=ix\varepsilon$ точечно.

Смердяков

Согласно тому, что я понимаю из того, что вы говорите, можно переформулировать теорему Сохоцкого-Племеня как

\underset{ϵ \to + 0}{лим} \int г Икс ф (Икс) / (Икс + я ϵ Икс) "=" п . В . \int г Икс ф (Икс) / Икс - я π ф (0)

$\lim_{\epsilon \to +0} \int \mathrm{d}x f(x)/(x+i \epsilon x) = P.V. \int \mathrm{d}x f(x)/x -i \pi f(0)$ . Я пытаюсь убедить себя... А пока большое спасибо..

Qмеханик

Кросспостировано с math.stackexchange.com/q/1701964/11127

СлучайныйПреобразование Фурье

ОП: Я думаю, что было бы намного легче помочь вам, если бы вы немного «подчистили» свои уравнения, т.е. попытались максимально упростить уравнения. Например, вы можете установить

α = β = 1

$\alpha=\beta=1$ (что не изменит аналитические свойства вашей функции) или установить

Z_{0} \frac{2}{β} (2 π \frac{A}{λ^{2}}) = 1

$Z_0\frac{2}{\beta}\left(2\pi \frac{A}{\lambda^2}\right)=1$ (потому что этот фактор фигурирует везде и сути вопроса не меняет). Или, другими словами, вы уже понимаете большую часть того, что написали. Попробуйте удалить ненужную информацию и оставить только ту часть, которую вы не понимаете.

Смердяков

Сделано, как было предложено, избавлено от как можно большего количества несущественных констант в соответствии с физическими требованиями. Спасибо.

Ответы (1)

Мнимая часть свободной энергии - теорема Сохоцкого Племени

Но $i\varepsilon=ia\varepsilon$ для любого $a>0$ .
Для $a$ постоянный я мог бы понять ... но $x$ - это переменная интегрирования. Я, вероятно, полностью упускаю из виду вашу точку зрения...
Я думаю, вы совсем не упускаете мою мысль: для каждого $x\in(0,\infty)$ вы можете использовать $i\varepsilon=ix\varepsilon$ точечно.
Согласно тому, что я понимаю из того, что вы говорите, можно переформулировать теорему Сохоцкого-Племеня как $\underset{ϵ \to + 0}{лим} \int г Икс ф (Икс) / (Икс + я ϵ Икс) "=" п . В . \int г Икс ф (Икс) / Икс - я π ф (0)$ $\lim_{\epsilon \to +0} \int \mathrm{d}x f(x)/(x+i \epsilon x) = P.V. \int \mathrm{d}x f(x)/x -i \pi f(0)$ . Я пытаюсь убедить себя... А пока большое спасибо..
Кросспостировано с math.stackexchange.com/q/1701964/11127
ОП: Я думаю, что было бы намного легче помочь вам, если бы вы немного «подчистили» свои уравнения, т.е. попытались максимально упростить уравнения. Например, вы можете установить $\alpha=\beta=1$ (что не изменит аналитические свойства вашей функции) или установить $Z_0\frac{2}{\beta}\left(2\pi \frac{A}{\lambda^2}\right)=1$ (потому что этот фактор фигурирует везде и сути вопроса не меняет). Или, другими словами, вы уже понимаете большую часть того, что написали. Попробуйте удалить ненужную информацию и оставить только ту часть, которую вы не понимаете.
Сделано, как было предложено, избавлено от как можно большего количества несущественных констант в соответствии с физическими требованиями. Спасибо.

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Вы можете переформулировать теорему Сохоцкого-Племеля как

\begin{matrix} (1) & \int_{а}^{б} \frac{ф (Икс)}{Икс - у - я ε г (Икс)} г Икс "=" я π ф (у) + п \int_{а}^{б} \frac{ф (Икс)}{Икс - у} г Икс \end{matrix}

$\int_a^b\frac{f(x)}{x-y-i\varepsilon \color{red}{g(x)}} \mathrm dx=i\pi f(y)+\mathcal P\int_a^b\frac{f(x)}{x-y}\mathrm dx \tag{1}$ для любой монотонной ненулевой функции

g (x)

$g(x)$ и любой

y \in (a, b)

$y\in(a,b)$ . В вашем случае вы бы взяли

g (x) = x

$g(x)=x$ и

y = α

$y=\alpha$ , но любая другая (хорошо работающая) функция

g (x)

$g(x)$ сделает также.

Например, возьмите

\begin{aligned} ф (Икс) & \equiv е^{- {Икс}^{2}} грех (Икс - 1) Г (Икс + 3) \\ а & \equiv - γ_{Е} "=" - 0,577... \\ б & \equiv ф "=" 1,618... \\ г (Икс) & \equiv бревно (2 + {Икс}^{2}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x)&\equiv\mathrm e^{-x^2}\sin(x-1)\Gamma(x+3)\\ a&\equiv-\gamma_\mathrm{E}=-0.577...\\ b&\equiv\phi=1.618...\\ g(x)&\equiv\log(2+x^2) \end{aligned}$

Если мы определим

ξ (у) \equiv {| \int_{а}^{б} \frac{ф (Икс)}{Икс - у - я ε г (Икс)} г Икс - я π ф (у) - п \int_{а}^{б} \frac{ф (Икс)}{Икс - у} г Икс |}^{2}

$\xi(y)\equiv\left|\int_a^b\frac{f(x)}{x-y-i\varepsilon g(x)} \mathrm dx-i\pi f(y)-\mathcal P\int_a^b\frac{f(x)}{x-y}\mathrm dx\right|^2$ мы должны заметить, что

ξ (y) \equiv 0

$\xi(y)\equiv 0$ . Действительно, если мы вычислим интегралы численно с помощью Mathematica , мы получим

$\hspace{200pt}$

где ошибка определяется конечным значением $\varepsilon=0.005$ .

На ваш актуальный вопрос:

Если я понял ваш вопрос, основная проблема связана со следующим интегралом:

ф (А) \equiv \int_{0}^{\infty} г у е^{А у} "=" \frac{- 1}{А} Ре [А] < 0

$f(A)\equiv\int_0^\infty \mathrm dy\ \mathrm e^{Ay}=\frac{-1}{A} \qquad \text{Re}[A]<0$ где

A

$A$ любое комплексное число с отрицательной действительной частью. Интеграл сходится только при

Re [A] < 0

$\text{Re}[A]<0$ , но мы можем настаивать на том, что оно справедливо для любого

A

$A$ и назначить

1 / A

$1/A$ как его значение. Я полагаю, что именно это имеет в виду автор, говоря об аналитическом продолжении интеграла. Математически говоря, мы можем сказать, что

1 / A

$1/A$ является аналитическим продолжением

f (A)

$f(A)$ вне радиуса сходимости, точно так же аналитически продолжаем сумму

\sum_{я "=" 0}^{\infty} {Икс}^{я} "=" \frac{1}{1 - Икс}

$\sum_{i=0}^\infty x^i=\frac{1}{1-x}$

Фактическая сумма сходится только для $|x|<1$ , но мы можем присвоить значение $1/(1-x)$ к этому, даже если $|x|>1$ . Философия такова: оценивайте любой интеграл/сумму в той области, где она сходится, и, если результат имеет смысл в большей области, то назовите этот результат аналитическим продолжением интеграла /суммы (конечно, аналитическое продолжение более тонко и сложно, чем просто это).

Во всяком случае, если мы позволим $A=-\alpha+x(P-i\varepsilon)$ , то имеем

\int_{0}^{\infty} г у е^{- α у + Икс у (п - я ε)} "=" \frac{1}{- α + Икс (п - я ε)}

$\int_0^\infty\mathrm dy \ \mathrm e^{-\alpha y+xy(P-i\varepsilon)}=\frac{1}{-\alpha+x(P-i\varepsilon)}$ даже если

- α + x (P - i ε) > 0

$-\alpha+x(P-i\varepsilon)>0$ . Далее умножить на

e^{- β x^{2}}

$\mathrm e^{-\beta x^2}$ слева и интегрируем по

x \in (0, \infty)

$x\in(0,\infty)$ :

\int_{0}^{\infty} г Икс \int_{0}^{\infty} г у е^{- β {Икс}^{2} - α у + Икс у (п - я ε)} "=" \int_{0}^{\infty} г Икс е^{- β {Икс}^{2}} \frac{1}{- α + Икс (п - я ε)}

$\int_0^\infty\mathrm dx \int_0^\infty\mathrm dy \ \mathrm e^{-\beta x^2-\alpha y+xy(P-i\varepsilon)}=\int_0^\infty\mathrm dx\ \mathrm e^{-\beta x^2}\frac{1}{-\alpha+x(P-i\varepsilon)}$

Правая часть может быть оценена с помощью теоремы Сохоцкого – Племеля, где я возьму $g(x)=x$ и $y=\alpha$ (в обозначении $(1)$ ):

\int_{0}^{\infty} г Икс е^{- β {Икс}^{2}} \frac{1}{- α + Икс (п - я ε)} "=" \frac{1}{п} [я π е^{- β α^{2} / п^{2}} + п \int_{0}^{\infty} \frac{е^{- β {Икс}^{2} / п^{2}}}{Икс - α}]

$\int_0^\infty\mathrm dx\ \mathrm e^{-\beta x^2}\frac{1}{-\alpha+x(P-i\varepsilon)}=\frac{1}{P}\left[i\pi\mathrm e^{-\beta\alpha^2/P^2}+\mathcal P\int_0^\infty \frac{\mathrm e^{-\beta x^2/P^2}}{x-\alpha}\right]$

Это очень полезно ... я понял, что у меня есть новая проблема, то есть как выполнить интеграл по положительной действительной полуоси экспоненциальной функции с аргументом с положительной действительной частью. Я отредактировал сообщение, чтобы выделить это факт..спасибо большое..
Я рад, что смог помочь :) в любом случае, обратите внимание, что $\int_0^\infty \mathrm dx\ \mathrm e^{-ax}$ для комплекса $a$ определяется только в том случае, если $\text{Re}(a)>0$ . В противном случае интеграл расходится. (Мнимая часть не имеет значения для сходимости)
Спасибо, что подтвердили это. Я изо всех сил пытаюсь понять, как тогда функция $Z(P)$ , уравнение (8) в статье (сообщено для всеобщего удобства в конце моего исходного поста, быть голоморфным во всей комплексной плоскости, за исключением точки ветвления из $(-\infty,0]$ как указано в документе, если он даже не определен, когда P имеет отрицательную действительную часть.. еще раз спасибо
Я думаю, вы должны добавить, что $i \pi f(0)$ термин содержит $P$ потому что сингулярность возникает в $\nu = 4 \alpha /P$ , Итак $i \pi f(0)$ термин действительно $i \pi f( 4 \alpha /P)$ термин, который явно содержит $P$ . Он спросил об этом в своем первом редактировании.
@NowIGetToLearnWhatAHeadIs см. редактирование. Ты это имеешь ввиду?
Теперь это имеет смысл. Большое спасибо, действительно очень признателен.
@user37292 user37292 Я рад, что смог помочь :-) [Я полагаю, что где-то отсутствует знак минус, поэтому, пожалуйста, убедитесь, что вы получите тот же результат!]
@AccidentalFourierTransform Да, это то, что я имел в виду. Хороший ответ.

Мнимая часть свободной энергии - теорема Сохоцкого Племени

Смердяков

СлучайныйПреобразование Фурье

Смердяков

СлучайныйПреобразование Фурье

Смердяков

Qмеханик

СлучайныйПреобразование Фурье

Смердяков

Ответы (1)

СлучайныйПреобразование Фурье

На ваш актуальный вопрос:

Смердяков

СлучайныйПреобразование Фурье

Смердяков

Брайан Мотс

СлучайныйПреобразование Фурье

Смердяков

СлучайныйПреобразование Фурье

Брайан Мотс

Как выполнить интегралы по многомерной дельта-функции?

Аномальный магнитный момент электрона - задача интегрирования

Понимание дельты Хевисайда и Дирака для квантовой ступенчатой функции

Тройной интеграл ∭R3d3q δ3(q⃗)(p⃗ ⋅q⃗)2q2∭R3d3q δ3(q→)(p→⋅q→)2q2\iiint_{\mathbb{R}^3} d^{3}q ~\delta^ {3}(\vec{q})\frac{(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}{q^{2}} с использованием дельта-функции Дирака

Почему обе эквивалентные формы этой дельта-функции не дают правильного ответа?

H-теорема и уравнение Больцмана в применении к распределению Больцмана

Нахождение статистической суммы для трехуровневой системы

Интегрирование e−itp2+m2√e−itp2+m2e^{-it\sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}} для амплитуды QM

Как рассчитать центр масс полой полусферы некоторой толщины?

Интеграл мягких фотонов Вайнберга