Незнакомая нотация в Сакураи

Это обозначение из теории распределения в функциональном анализе. Теория распределений предназначена для того, чтобы сделать такие вещи, как дельта Дирака, строгими.

В этом контексте, просто чтобы дать вам один обзор, распределение — это функционал в пространстве тестовых функций. Определим пространство пробных функций над$\mathbb{R}$в качестве$\mathcal{D}(\mathbb{R})$являющееся пространством гладких функций с компактным носителем (то есть множество, где они не равны нулю, ограничено и замкнуто).

В этом случае пространство распределений есть пространство непрерывных линейных функционалов над$\mathcal{D}(\mathbb{R})$и обозначается как$\mathcal{D}'(\mathbb{R})$. Если$\eta\in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$а также$\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$мы обычно обозначаем$\eta(\phi)$по$(\eta,\phi)$. Поскольку распределения — это просто линейные функционалы, мы говорим, что два распределения$\eta,\zeta$равны, если$(\eta,\phi)=(\zeta,\phi)$для всех$\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$.

Дельта Дирака, например, определяется как$\delta\in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$чье действие на$\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$является$(\delta,\phi)=\phi(0)$. Теперь, учитывая$\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$всегда можно построить связанный с ним дистрибутив:

$$(\phi,\psi)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\psi(x)dx, \qquad \forall \ \psi\in \mathcal{D}(\mathbb{R}).$$

Однако есть и другие способы превратить одну обычную функцию в распределение, даже если эта функция не является тестовой. Одна из них является главной ценностью. Рассмотреть возможность$f(x) = \frac{1}{x}$. Это, очевидно, не имеет компактной поддержки, поэтому$f\notin \mathcal{D}(\mathbb{R})$. Мы можем сделать$f$однако в распределение, учитывая главное значение:

$$\left(\operatorname{Pv}\frac{1}{x},\phi\right)=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\dfrac{\phi(x)}{x}dx+\int_\epsilon^\infty \dfrac{\phi(x)}{x}dx\right).$$

Вот что значит книга$\operatorname{Pr}$.

Итак, формула, которую вы утверждаете, - это формула Сохоцкого-Племеля . Его следует читать в дистрибутивном смысле. Говоря это:

$$\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{x+i\epsilon}=\operatorname{Pr}\frac1x -i\pi\delta(x).$$

Действительно означает, что для всех$\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$у нас есть

$$\lim_{\epsilon\to 0}\left(\frac{1}{x+i\epsilon},\phi\right)=\left(\operatorname{Pr}\frac1x,\phi\right) -i\pi\left(\delta(x),\phi\right),$$

куда

$$\left(\frac{1}{x+i\epsilon},\phi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\phi(x)}{x+i\epsilon}dx.$$

Как ни странно, это не специфическая физическая нотация. Обозначение позволяет интерпретировать$1/x$как распределение (что имеет смысл, поскольку оно добавляется к дельта-распределению в правой части уравнения). Для подходящей тестовой функции$\varphi$, это распределение определяется как

$$\mathrm{pv}(1/x)(\varphi) = \lim_{\epsilon\to 0+}\int_{\mathbb R\setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x)}{x}\, dx$$ Как заметил пользователь anon0909, это распределение называется главным значением $1/x$. Учитывая это определение, уравнение, которое появляется в Сакураи, следует интерпретировать как $$\lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\varphi(x)}{x + i\epsilon} = \lim_{\epsilon\to 0+}\int_{\mathbb R\setminus [-\epsilon, \epsilon]} \frac{\varphi(x)}{x}\, dx - i\pi\varphi(0)$$