Как выразить лагранжиан и действие на языке форм?

Возможно, вы уже знаете об этом, но вы можете найти прекрасное изложение лагранжевой механики на многообразиях в книге В. Арнольда «Математические методы классической механики».

Также, чтобы конкретно ответить на ваш вопрос:

$L:TM \rightarrow \mathbb{R}$

так что$L$является 1-формой; то есть$L \in \Omega^1 M$что необходимо для интегрирования по траектории$q$рассматривается как кривая, одномерное многообразие:

$q:I \rightarrow J \subseteq M$.

Эта часть обычно неверна, рассмотрим, например, свободный лагранжиан (вычисленный в точке$p$как функция$L_p : T_pM \to\mathbb{R}$)$L_p(v) = <v,v>_p$. Это определенно не линейно в$v$, что необходимо для 1-формы. (Здесь < , > — некоторая риманова метрика на многообразии).

Также может быть, что множество, описываемое кривой, не является подмногообразием, это происходит в случае самопересекающейся кривой.

Вам не нужно иметь 1-форму для интегрирования по кривой. С$L$это функция$TM \to \mathbb{R}$, для дифференцируемой кривой$\gamma : [a,b] \to M$сочинение:$L_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t))$это функция$[a,b] \to \mathbb{R}$по которому можно проинтегрировать.

Определение действия$S$к$S[\gamma(t)]=\int_a^b L_{\gamma(t)}(\dot \gamma(t))\, dt$можно восстановить старые уравнения движения при условии, что$S$является экстремальным для физического пути: выбрав любую координатную карту$\phi$на подмножестве$U \subseteq M$, существует индуцированный набор координат на$TU \subseteq TM$данный

$\tilde \phi (p,v) = (\{\phi(p)^i\},\{v_i\})$где$v=\sum_i v_i\, v(\phi(p)^i) \equiv \sum_i v_i \frac{\partial}{\partial\phi^i}$

По этим координатам$L$получает старую форму функции$L(q,q')$действуя на два кортежа чисел, а затем eom$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial q'}- \frac{\partial L}{\partial q} =0$восстановлены.