Какова физическая интуиция для симплектических структур?

Если рассматривать фазовое пространство (пространство исходных данных)${\cal{M}}$классической системы его можно рассматривать как кокасательное расслоение$T^{*}Q$конфигурационного пространства$Q$.

Как вы говорите, это расслоение имеет естественную симплектическую структуру.$\omega:T{\cal{M}}\times T{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$. Теперь задан гамильтониан$H:{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$используя обратную симплектическую структуру, мы можем получить гамильтоново векторное поле$X_{H}=\omega^{-1}(dH,.):T^{*}{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$.

Рассмотрим теперь координаты$(q_{1},..,q_{n})$в$Q$. Этот набор координат порождает естественный набор координат$(q_{1},..,q_{n};p_{1},..,p_{n})$на${\cal{M}}$принимая$(p_{1},..,p_{n})$быть компонентами кокасательных векторов в базисе координат, связанном с$(q_{1},..,q_{n})$.

Тогда симплектическая форма принимает вид$\omega=\sum_{\mu}dp_{\mu}\wedge dq_{\mu}$и обратное принимает вид$\omega^{-1}=\sum_{\mu}(\frac{\partial}{\partial q}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})-(\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial q}_{\mu})$.

Тогда гамильтоново векторное поле обозначается:$X_{h}=\sum_{\mu}(\frac{\partial H}{\partial q}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})-(\frac{\partial H}{\partial p}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial q_{\mu}})$.

Если теперь рассмотреть интегральную кривую этого векторного поля, это означает, что кривая$\alpha:\mathbb{R}\rightarrow {\cal{M}}$удовлетворяет$\frac{d \alpha}{dt}=X_{h}$

Мы получаем

которые являются уравнением Гамильтона.

Более того, мы можем определить скобку Пуассона двух классических наблюдаемых как$\{f,g\}=\omega^{-1}(df,dg)$что удовлетворяет для координат$\{q_{\mu},q_{\nu}\}=0,\{p_{\mu},p_{\nu}\}=0,\{q_{\mu},p_{\nu}\}=\delta_{\nu\mu}$. Как видите, эти отношения аналогичны наблюдаемым в QM. На самом деле существует множество процедур квантования из классических теорий, где это является отправной точкой.

Наконец, вы можете определить классическое действие, когда гамильтониан не зависит от времени, как$S=\int\theta$причем интеграл понимается как взятие по многообразию, определяемому сохранением энергии$E$постоянный:$H=E=$константа

Вот две картинки из книги Роджера Пенроуза «Дорога реальности», которые могут помочь:

Кривые, имеющие касательными векторами гамильтонов поток, являются решениями уравнений движения системы.