Книга Классическая механика без координат

1.

Я влюблен в « Дифференциальную геометрию» и «Группы Ли для физиков » Фекко . Несмотря на то, что речь идет не только о механике (а скорее о более или менее всей рудиментарной современной теоретической физике), в ней обсуждается как лагранжев, так и гамильтонов формализм. Он также содержит бесчисленное количество упражнений (с хорошими подсказками), чтобы вы могли действительно прочувствовать этот вопрос.

2.

Я не могу назвать каких-то серьезных недостатков. Конечно, если задача не имеет симметрии, иногда у вас нет другого выбора, кроме как вернуться к некоторым координатам и решить ее численно. Но это, вероятно, не проблема для вас, потому что я полагаю, что вы сначала хотите понять физические проблемы с некоторой структурой.

3.

Есть бесчисленное множество преимуществ. Чтобы перечислить только некоторые из них.

1. связь с симметриями и сохраняющимися величинами становится очевидной. Теорема Нётер в гамильтоновом формализме является настолько удивительно простым утверждением (гамильтониан постоянен для симметричного потока, если и только если генератор симметрии постоянен для гамильтонового потока), что возникает вопрос, куда делись все многословные вычисления координат.

2. Мало того, что расчеты короткие, можно также получить ценную геометрическую информацию, например, о потоке конфигурации на коллекторе.

3. Это красивый формализм.

4. Не знаю, как другие, но всякий раз, когда мне приходится считать в координатах, я начинаю нервничать. Я могу вычислить результаты, но через несколько страниц, когда большинство величин таинственным образом сокращаются, вы действительно не понимаете, почему то, что вы получили, верно. Итак, вы возвращаетесь к геометрии и, о чудо, вывод состоит всего из нескольких строк и очевиден. Конечно, сейчас я преувеличиваю, но я так чувствую.

5. Это основа всей современной физики. Если вышеупомянутые четыре пункта были верны в классической механике, они еще более верны, когда речь идет о таких вещах, как калибровочные теории (и именно здесь проявляется вся красота и сила математики).

Одной из классических книг в этом духе является

Математические методы классической механики . VI Арнольд. Тексты для выпускников по математике, том. 60, Springer, New York, 2000. Доступно, например , здесь .

Эта книга математически очень формальна и очень ясна; Мне понравилось, когда я взялся за аналитическую механику, потому что она избегает пятен строгости физиков и представляет одну четкую, связную структуру. Он не начинает с перешедшего из поколения в поколение Большого принципа (например, это уравнения Гамильтона в симплектической форме, и давайте посмотрим, как из них можно построить экспериментальную механику), но он очень четко формулирует основную теорию, и оттуда он движется дальше. выше в абстракции.

Рассказ не очень длинный. Симплектическое многообразие – это многообразие$X$с невырожденной замкнутой двуформой,$\omega$. Учитывая это, из функции$h$(«гамильтониан») мы можем построить векторное поле$v$по$\omega(v,-) = dh$.

Поток мимо$v$определяет классические траектории. (Обратите внимание, что мы не использовали метрику для$X$, т.е.$v$НЕ является градиентом$h$.) Фактически,$h$остается постоянной (сохраняющейся) в потоке, так как$v(h) = \omega(v,v) = 0.$Также обратите внимание${\mathcal L}_v \omega = 0$, значение$\omega$сохраняется в потоке — в частности, фаза Лиувилля$\omega^{\wedge n}$.

Для примера возьмем$X$быть кокасательным пространством$T^*({\mathbb R}^n)$с координатами$x$(должность) и$y$(импульс), с$\omega = {\rm d}x \wedge {\rm d}y$. Брать$h = y^2/2 + V(x)$, т.е. КЭ + ПЭ. затем$v = y {\partial \over \partial x} - V' {\partial \over \partial y}$, поэтому уравнения потока$\dot{x} = y$,$\dot{y} = -V'$, или же$\ddot{x} = -V'$, закон Ньютона.

Чтобы ответить 3: это действительно зависит от того, почему вы хотите изучить этот материал. Для меня современный взгляд важен, потому что он очень элегантен и обобщаем (вы можете «делать» классическую механику на любом многообразии Пуассона). Это также приводит к очень интересной математике. Например, эволюция наблюдаемой задается выражением$f' = \{H,f\}$куда$H$является функцией Гамильтона и$\{,\}$является скобкой Пуассона. В гейзенберговской картине квантовой механики наблюдаемая (представленная оператором$A$) развивается в соответствии$A' = [H,A]$куда$H$является квантово-механическим гамильтонианом и$[,]$является скобкой Ли (коммутатором). Это сходство привело к таким вещам, как теория деформации и квантование.

Рекомендую недавнюю книгу Леона Тахтаджана "Квантовая механика для математиков". Он начинается с введения в классическую механику, предназначенного для математиков, и, среди прочего, объясняет бескоординатный подход.

Я думаю, что геометрическая алгебра подходит для классического меха без координат и многого другого.
В сети много бесплатных ресурсов.

Подход прост в вычислительном отношении.

из книги Хестена « Новые основы классической механики», где
цитируется:

... введение в геометрическую алгебру как единый язык физики и математики ... вводит новые бескоординатные методы динамики вращения и орбитальной механики, развивая эти предметы на уровне, значительно превышающем уровень других учебников. Эти методы в последние годы широко применяются в биомеханике и робототехнике, в компьютерном зрении и геометрическом конструировании, в орбитальной механике в государственных и промышленных космических программах, а также в других областях физики. Книга применяет их к основным возмущениям в Солнечной системе,...

или « Геометрическая алгебра и ее применение в математической физике » Криса Дж. Л. Дорана (Крис Тезис), скачать бесплатно
....
или Лекция с медалью Эрстеда, 2002 г.: Реформирование математического языка физики (GA), скачать бесплатно

... В результате был создан всеобъемлющий язык под названием « Геометрическая алгебра », который я представляю с акцентом на то, как он упрощает и объединяет классическую и квантовую физику.
... После объяснения предельной простоты грамматики ГА ... уникальные особенности математического языка: (1) ГА плавно интегрирует свойства векторов и комплексных чисел, чтобы обеспечить полностью бескоординатную обработку 2D-физики.
(2) GA легко сочетается со стандартной векторной алгеброй, что позволяет легко обращаться к стандартной литературе и математическим методам.
(3) GA сводит «град, div, curl и все такое» к одной производной векторакоторое, среди прочего, объединяет стандартный набор из четырех уравнений Максвелла в одно уравнение и предоставляет новые методы его решения.
(4) Формулировка спиноров в ГА облегчает рассмотрение вращений и динамики вращения как в классической, так и в квантовой механике без координат или матриц .
(5) ГА дает свежий взгляд на геометрическую структуру квантовой механики с последствиями для ее физической интерпретации.
Все это плавно обобщается до полностью бескоординатного языка физики пространства-времени и общей теории относительности, которые будут представлены в последующих статьях.

В книге Марсдена и Ратиу «Введение в механику и симметрию» классическая механика представлена ​​с точки зрения современной дифференциальной геометрии.

Хотя она не предназначена для начинающих, она уникальна тем, что представляет точку зрения, в которой все классические консервативные системы (включая системы теории поля) представлены в гамильтоновой структуре.

Этот ответ содержит некоторые дополнительные ресурсы, которые могут быть полезны. Обратите внимание, что ответы, которые просто перечисляют ресурсы, но не содержат подробностей, настоятельно не рекомендуются политикой сайта в отношении вопросов о рекомендациях ресурсов . Этот ответ оставлен здесь, чтобы содержать дополнительные ссылки, которые еще не имеют комментариев.

• ВМ Олива. Геометрическая механика (Конспект лекций по математике, том 1798. Springer, Берлин, 2002).

• Дж. Хосе и Э. Дж. Салетан. Классическая динамика: современный подход (издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1998). Здесь используется подход, основанный на касательных расслоениях.