Как вывести или обосновать выражения оператора импульса и оператора энергии?

Здесь было отмечено$\! { \, }^{\text(1, 2)}$, например, что

$$\mathbf{F} = \frac{d}{dt}\!\!\biggl[ \, \mathbf{p} \, \biggr]$$

верно во всех контекстах.

Точно так же в известных контекстах , по-видимому, верно, что

$$\mathbf{F} = - \nabla \Phi := - \frac{d}{d\mathbf{r}}\!\!\biggl[ \, \Phi \, \biggr].$$

Является ли это, в двух словах, достаточным и действительным основанием для определения (в соответствующих подходящих контекстах)
оператора импульса как$\! { \, }^{\text(3)}$

$$\mathbf{\hat p } \propto -i \nabla := -i\frac{d}{d\mathbf{r}}$$

и установив оператор (потенциальной) энергии как$\! { \, }^{\text(4)}$

$$\hat \Phi \propto i\frac{d}{dt}$$

и оба с той же константой пропорциональности,$\hbar$, Посредством чего

$$\mathbf{\hat F} = \frac{d}{dt}\biggl[-i\hbar\frac{d}{d\mathbf{r}}\biggr] = -\frac{d}{d\mathbf{r}} \biggl[i\hbar\frac{d}{dt}\biggr] \sim \frac{d^2}{dt \, d\mathbf{r}} = \frac{d^2}{d\mathbf{r} \, dt}$$

?

РЕДАКТИРОВАТЬ (относится только к формальностям):

(${ \, }^{\text 1}$: Обратите внимание, что утверждение, которое следует здесь отметить , было явно выражено в форме

$F = \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}$верно во всех контекстах.

Однако, поскольку представляется допустимым принять к сведению утверждение без строгого цитирования и цепляния за его первоначальное буквальное выражение (как молчаливо предполагалось уже в исходной формулировке моего вопроса и как это, по-видимому, подтверждается таким образом ), я хотел бы , насколько это возможно однозначно, чтобы последовательно выразить операцию « дифференцирования » с помощью (формы) обозначений Лейбница .)

(${ \, }^{\text 2}$: Обратите внимание, что вопрос , примечательный ответ на который был сделан выше, был помечен (в первую очередь) как « https://physics.stackexchange.com/questions/tagged/newtonian-mechanics ».

(${ \, }^{\text 3}$: Обратите внимание, что указанное выражение оператора импульса указано там явно как

${\bf \hat p } = -i \hbar \nabla$

и

В одном пространственном измерении это становится:$\hat{p}=\hat{p}_x=-i\hbar{\partial \over \partial x}$,

где символ набла ($\nabla$) относится к http://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative#Notation .)

(${ \, }^{\text 4}$: Обратите внимание, что указанное выражение оператора энергии указано там явно как

$\hat{E} = i\hbar\frac{\partial }{\partial t}$.

)