Ожидание импульса в связанном состоянии

Логически правильно ли утверждать, что ожидание импульса

⟨ п ^ ⟩ "=" 0
для любого связанного состояния, потому что оно связано с некоторой конечной областью? Какова физическая интерпретация того факта, что
⟨ п ^ ⟩ "=" 0
в собственном энергетическом состоянии ψ н ( Икс , т ) но
⟨ п ^ ⟩ ≠ 0
в некотором состоянии суперпозиции
ψ ( Икс , т ) "=" с м ψ м ( Икс , т ) + с н ψ н ( Икс , т )   ?
Здесь ψ н ( Икс , т ) собственные состояния гамильтониана, например, в задаче о частице в ящике (скажем).

Я думаю, что можно сделать вывод только для нерелятивистского связанного собственного состояния ⟨ п ^ ⟩ "=" 0 . С
⟨ н | п | н ⟩ ∝ ⟨ н | [ ЧАС , Икс ] | н ⟩ "=" ⟨ н | ЧАС Икс − Икс ЧАС | н ⟩ "=" Е н ( ⟨ н | Икс | н ⟩ − ⟨ н | Икс | н ⟩ ) "=" 0
, здесь
ЧАС "=" п 2 2 м + В
. Если мы релаксируем состояние в любое связанное состояние | ⟩ , у нас есть
⟨ | п | ⟩ ∝ ⟨ | [ ЧАС , Икс ] | ⟩ "=" ∑ н с н * Е н ⟨ н | Икс | ⟩ − с н Е н ⟨ | Икс | н ⟩ ≠ 0
в общем.
@ user26143 Почему бы не превратить это в ответ?
Мой ответ - техническое примечание. Я не уверен, как ответить: «Какова физическая интерпретация того факта, что ⟨p^⟩=0 в собственном энергетическом состоянии ψn(x,t), но ⟨p^⟩≠0 в некотором состоянии суперпозиции». Думаю, это связано с форма волновой функции?... Возможно, я превращу его в ответ
если потенциал имеет симметрию в заданном направлении, то из этого следует, что собственное состояние будет двигаться в этом направлении одинаково независимо от ориентации, следовательно, оно должно сокращаться до нуля при усреднении.

Ответы (5)

В одномерной задаче ⟨ п ^ ⟩ всегда равен нулю.

⟨ п ^ ⟩ "=" ⟨ ψ | п ^ | ψ ⟩ "=" ∫ г Икс ψ * п ^ ψ ∝ ∫ г Икс ψ * ψ ′ "=" ( 1 ) − ∫ г Икс ( ψ * ) ′ ψ "=" ( 2 ) − ∫ г Икс ψ ′ ψ *

Где в (1) я интегрировал по частям и предположил, что ψ → 0 как Икс → ∞ а в (2) я использовал тот факт, что вы всегда можете выбрать собственное состояние с ограниченной энергией в качестве реального, что означает, что я могу взять комплексно-сопряженное состояние бесплатно. Обратите внимание, что у нас есть следующее:

⟨ ψ | п | ψ ⟩ ∝ − ∫ г Икс ψ ′ ψ * "=" ∫ г Икс ψ ′ ψ * ⟺ ⟨ ψ | п | ψ ⟩ "=" 0

Это, конечно, неверно: когерентное состояние | α ⟩ для меня ( α ) ≠ 0 простой контрпример. Конечно, это линейная комбинация связанных состояний, и вообще такие линейные комбинации вполне могут не иметь ⟨ р ⟩ "=" 0
@ZerotheHour это верно только для собственных состояний гамильтониана, о которых они упоминали, но их можно было бы подчеркнуть лучше.

Логически правильно ли утверждать, что ожидание импульса ⟨ п ⟩ "=" 0 для любого связанного состояния, потому что оно связано с некоторой конечной областью?

Связанное состояние означает, что частицы где-то ограничены. Его волновая функция будет равна нулю на асимптотическом пределе. Связанное состояние может быть суперпозицией конечного числа связанных собственных состояний. Например, суперпозиция волновой функции основного и первого возбужденного состояния частицы в ящике все равно будет равна нулю на дальнем пределе.

Я думаю, что можно сделать вывод только для нерелятивистского, связанного, собственного состояния (а не любого связанного состояния) ⟨ п ^ ⟩ "=" 0 . С

⟨ н | п | н ⟩ ∼ ⟨ н | [ ЧАС , Икс ] | н ⟩ "=" ⟨ н | ЧАС Икс − Икс ЧАС | н ⟩ "=" Е н ( ⟨ н | Икс | н ⟩ − ⟨ н | Икс | н ⟩ ) "=" 0
. Если мы релаксируем состояние в любое связанное состояние | ⟩ , у нас есть
⟨ | п | ⟩ ∼ ⟨ | [ ЧАС , Икс ] | ⟩ "=" ∑ н с н * Е н ⟨ н | Икс | ⟩ − с н Е н ⟨ | Икс | н ⟩ ≠ 0
в общем.

Почему аргумент не будет справедлив для неограниченных состояний?
@GuillemB В этом случае x не определен.

Намек на это может заключаться в том, что суперпозиция стационарных состояний с разными энергиями НЕ является стационарным состоянием, потому что вы не можете выразить волновую функцию как произведение одной зависящей от времени экспоненциальной функции на пространственную функцию.

Я бы немного скорректировал ответ Гоненка, потому что не всегда верно, что можно выбрать собственное состояние связанной энергии, чтобы иметь реальное представление в позиционном пространстве. Существуют одномерные системы с вырождением (например, обсуждаемый здесь «изотонический осциллятор» ), и в этих случаях собственное энергетическое состояние имеет вид α х 1 + β х 2 с | α | 2 + | β | 2 "=" 1 и х 1 , 2 реальные функции. Вообще такое состояние нельзя превратить в чисто реальное. (В системах без вырождения имеем ψ "=" е я α ψ * для любого собственного состояния энергии, поскольку оба ψ и ψ * являются решениями не зависящего от времени уравнения Шредингера с той же энергией, и тогда проходит ответ Гоненка.)

Тем не менее, написание ψ "=" ψ р + я ψ я для собственного состояния энергии ψ , немного алгебры показывает

⟨ п ⟩ ψ ∝ ∫ г Икс Вт [ ψ р , ψ я ] ,
где Вт [ х , ф ] "=" х ф ′ − х ′ ф является вронскианом. В алгебре я предположил ψ → 0 как | Икс | → ∞ т.е. мы находимся в связанном состоянии. Теперь для вронскиана легко увидеть, что Вт ′ "=" 0 всюду из уравнения Шредингера. Получить Вт "=" 0 везде следует считать, что оба произведения ψ р ψ я ′ и ψ р ′ ψ я исчезают в бесконечности. Это не всегда так, даже если ψ р , я исчезают в бесконечности. Достаточным условием является то, что В ( Икс ) − Е > М 2 , для всех Икс > Икс 0 , для некоторых чисел Икс 0 , М , где Е есть энергия рассматриваемого связанного состояния, поскольку тогда и волновая функция, и ее производная экспоненциально затухают на бесконечности.

Я знаю, что на это уже был дан ответ, но я думаю, что есть хороший способ увидеть это, о котором не упоминалось. Если рассматриваемое состояние является стационарным состоянием (энергетическое собственное состояние), то мы знаем

ЧАС | Ψ ⟩ "=" Е | Ψ ⟩

Который означает, что

⟨ [ Икс , ЧАС ] ⟩ "=" ⟨ Ψ | Икс ЧАС − ЧАС Икс | Ψ ⟩ "=" Е ( ⟨ Ψ | Икс | Ψ ⟩ − ⟨ Ψ | Икс | Ψ ⟩ ) "=" 0 ,

и с тех пор Икс ^ не имеет явной зависимости от времени, мы имеем простое дифференциальное уравнение для ⟨ Икс ⟩ :

г ⟨ Икс ⟩ г т "=" 1 я ℏ ⟨ [ Икс , ЧАС ] ⟩ "=" 0.

Теперь вспомним чрезвычайно полезное правило коммутации

[ Икс , Ф ( п ) ] "=" я ℏ ∂ Ф ∂ п .

Поскольку потенциал зависит только от положения, он коммутирует с Икс , поэтому приведенную выше производную по времени можно записать

0 "=" г ⟨ Икс ⟩ г т "=" 1 я ℏ ⟨ [ Икс , ЧАС ] ⟩ "=" 1 я ℏ ⟨ [ Икс , п 2 2 м ] ⟩ "=" 1 2 м ⟨ ∂ ∂ п п 2 ⟩ "=" ⟨ п ⟩ м .

Итак, мы видим, что математическое ожидание потенциала для собственного состояния энергии равно нулю:

⟨ п ⟩ "=" 0.

Ожидание импульса в связанном состоянии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v