Квантовая теория поля для одаренного любителя: задача 2.4

Бюстгальтер (одна форма)$\langle x |$или соответствующий ему кет-вектор$|x\rangle$являются «собственными состояниями» оператора положения$\hat{x}$с собственным значением$x$. Я использую кавычки, потому что в координатах положения или импульса они являются распределениями, а не членами$L^2$. Наблюдаемые импульса и положения не имеют собственных состояний в$L^2$, как обсуждалось в моем ответе здесь . На позиции$x^\prime$координаты,$|x\rangle$это дельта Дирака$\delta(x^\prime-x)$. Естественно, такое же поведение имеет место для любого оператора с непрерывным спектром в координатах, которые переводят оператор в простой оператор умножения, т.е. $\hat{x}(\psi(x)) = x\,\psi(x)$.

Чтобы узнать, кто вы, см. краткое пояснение Эмилио Писанти здесь .

Вопрос деликатный с математической строгой точки зрения. Физики делают следующее:

1. Состояния описываются элементами гильбертова пространства, называемого пространством состояний.$\mathcal{E}$. Один обозначает элементы$\mathcal{E}$как$|\varphi\rangle$. В космосе$\mathcal{E}$действуют эрмитовы операторы, представляющие физические величины, связанные с системой, они называются наблюдаемыми. Учитывая конкретную систему, мы предполагаем$\mathcal{E}$имеет необходимые наблюдаемые, действующие на него.

2. Спектр одной наблюдаемой включает множество всех возможных измеряемых величин. Теперь дело за вещами: предполагается, что каждая наблюдаемая имеет основу собственных состояний. Когда наблюдаемая ограничена, базис действительно существует как дискретный ортонормированный базис.$|\varphi_i\rangle$, что позволяет разложить любое состояние как

   $$|\varphi\rangle=\sum_{i=1}^\infty a_i |\varphi_i\rangle.$$ С другой стороны, даже когда наблюдаемое не ограничено, физики предполагают, что существует обобщенный непрерывный базис, т. е. существует непрерывный набор состояний.$|x\rangle$такой, что можно разложить $$|\varphi\rangle=\int\varphi(x)|x\rangle dx.$$ Здесь также предполагается, что отношение полноты выполняется в этом обобщенном смысле $$\int|x\rangle\langle x| dx = \mathbf{1}.$$

3. Например, в случае частицы, имеющей положение, предполагается, что существует$\mathcal{E}$с позиционным оператором$X$и соответствующий базис положения$|x\rangle$такой, что$X|x\rangle = x|x\rangle$и такие, что указанные выше разложения могут быть выполнены. Теперь оператор импульса$P$должен действовать как генератор пространственных переводов и, следовательно, должен удовлетворять уравнению, которое вы публикуете.

Оказывается, известно, что обобщенных собственных векторов не существует. Обобщенные собственные векторы существуют только тогда, когда вы обращаетесь к формализму так называемого тройного Гельфанда (или Rigged Hilbert Space).

Тем не менее физики предполагают, что это возможно. Итак, по вашим двум пунктам: (1) основа$|x\rangle$существует по предположению, а$\langle x|$является двойником$|x\rangle$, в смысле$\langle x | (|\varphi\rangle) = (|x\rangle,\varphi\rangle)$. Волновая функция — это проекция состояния на основе положения, так что$\varphi(x)=\langle x|\varphi\rangle$. (2) Тождество верно, потому что предполагается, что существует удовлетворяющий ему оператор импульса.

Это традиционный подход. Но давайте подробнее остановимся на некоторых вещах. Прежде всего, обратите внимание на (1) я написал, что предполагается, что есть гильбертово пространство, но важно предположить, что есть операторы. При алгебраическом подходе можно определить алгебру операторов и искать представления алгебры в гильбертовых пространствах, т. е. как реализовать алгебру как операторы в гильбертовом пространстве.

Оказывается, для частицы с положением вы все равно хотите, чтобы импульс был генератором пространственных перемещений. К счастью, это можно выразить как коммутационное соотношение: это эквивалентно тому, что операторы$X,P$с$[X,P]=i\hbar$- это каноническое отношение коммутации (CCR).

Таким образом, вы ищете алгебру операторов, порожденную$X,P$с отношением$[X,P]$наложенный. Оказывается, что в случае квантовой механики (это не удается как раз в квантовой теории поля) теорема Стоуна-фон Неймана утверждает, что с точностью до унитарной эквивалентности существует единственное представление, удовлетворяющее CCR. Все они изоморфны$L^2$представление, где$X\varphi(x) = x\varphi(x)$.

Итак, вы действительно можете предположить, что существует гильбертово пространство с операторами. Это оправдывает подход к абстрактному пространству состояний и оправдывает существование$P$который действует как$-i\hbar \nabla$. Просто основа$|x\rangle$это не является строгим и может быть оправдано только в триплетном подходе Гельфанда.