Обозначение и производная Bra Ket [дубликат]

Как ответили на вопросы, связанные с комментариями, правильно искать$\langle x | a | x'\rangle=\delta'(x-x')$. Я думаю, для вашего расчета$\langle x|a|x\rangle=\delta'(0)=0$(у нас есть$\delta'(-x)=-\delta'(x)$, так что это должна быть нечетная функция. Поэтому, если у него есть четко определенное значение в нуле [которого нет!], оно должно быть равно нулю. Тримок дает аналогичный ответ здесь ).

Давайте проверим это: у нас должно быть$\psi'(x)=\langle x | a | \psi\rangle$по определению$a$. Но мы также должны быть в состоянии вставить личность$1=\int |x'\rangle\langle x'| \text{d}x'$где угодно, чтобы$\psi'(x)=\int \text{d}x'\langle x | a |x'\rangle\langle x' | \psi\rangle$. Следовательно$\psi'(x)=\int \text{d}x'\langle x | a |x'\rangle \psi(x')$для всех$\psi$. Если мы подключим$\langle x | a | x'\rangle=\delta'(x-x')$, то получим интеграл$\int \text{d}x'\delta'(x-x') \psi(x')$. Это может быть интегрировано по частям:

$$\begin{align*} (\cdots)&=-\int \psi(x')\text{d}\left(\delta'(x-x')\right) \\ &=\int \psi'(x')\delta(x-x') \text{d}x'\\ &=\psi'(x) \end{align*}$$

Значит наша формула верна!

См. также производные от одного и того же (разделить на$-i\hbar$чтобы получить мою формулу) как ответы здесь и здесь .

Мне кажется, вы путаете два понятия.

Когда у вас есть квантовое состояние и вы представляете его кетом,$| \psi \rangle$, вы используете линейную алгебру в качестве формализма. Эволюцию такого состояния можно осуществить с помощью линейных операторов . Эти операторы могут быть представлены в виде матриц, когда ваше пространство имеет конечные размеры.

Однако есть и другой способ увидеть квантовую механику: использовать функции. Ваше состояние может быть представлено непрерывной функцией$\psi(x)$, а затем вы используете исчисление в качестве своего математического формализма. Затем операторы — это просто вещи, которые действуют на эти функции, такие как производные.

Какова связь между двумя точками зрения? Я не буду вдаваться в математические подробности, но можно связать оба представления, используя

$$\langle x | \psi \rangle = \psi(x)$$

Это называется представлением позиции. Вы можете иметь больше, например, импульсное представление,$\langle p | \psi \rangle = \psi(p)$, где$\psi(p)$является преобразованием Фурье$\psi(x)$.

Итак, у вас есть два способа увидеть операторов. Например,$\hat p$, оператор импульса, может действовать над любым состоянием$| \psi \rangle$, как вы обычно делаете в линейной алгебре.

Но вы также можете использовать космическое представление:

$$\langle x | \hat p | \psi \rangle = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)$$

Это причина, по которой вы идентифицируете$\hat p\equiv -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$. Однако, строго говоря, это то, что вы получаете от оператора импульса в позиционном представлении.

Таким образом, вы также можете сделать это, используя, например, импульсное представление:

$$\langle p |\hat p| \psi \rangle = p\psi(p)$$

В этом случае, поскольку$| p \rangle$является собственным состоянием оператора импульса, у вас есть$\hat p | p \rangle = p | p \rangle$и это просто умножение на$p$. Вы видите, что если вы преобразуете Фурье свою функцию, то при применении оператора импульса вообще не будет производной.

Итак, я думаю, что теперь вы видите, как пишется что-то вроде

$$\langle x | \frac{\partial}{\partial x}| \psi \rangle$$

просто не имеет смысла. (см. отказ от ответственности ниже). Вы смешиваете два разных способа просмотра QM. Таким образом, вы можете использовать линейную алгебру или функции. Вы можете переключаться между ними по своему усмотрению, используя свое любимое представление. Но не стоит смешивать вещи.

Я знаю, что у меня были математические потери с небольшими потерями, но я надеюсь, что это облегчит понимание.

РЕДАКТИРОВАТЬ : после некоторых комментариев (и пары отрицательных голосов) я думаю, что должен добавить отказ от ответственности. На самом деле вектор в гильбертовом пространстве может зависеть от некоторой переменной, например, состояние может изменяться во времени:$| \psi(t) \rangle$. Затем, если базис, который мы используем для представления векторов, фиксирован, обычно используются следующие обозначения:

$$| \psi(t) \rangle = \sum _{n=0} ^{+\infty} c_n(t) | e \rangle$$ $$\frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle \equiv \sum _{n=0} ^{+\infty} \frac{\partial c_n(t) }{\partial t} | e \rangle$$

Однако производная левой части равенства действует над вектором и дает другой вектор в гильбертовом пространстве . А в правой части у нас есть нормальная производная по функциям. У них разные домены, поэтому это разные вещи. Мой ответ просто сосредоточен на различии между производной как оператором в гильбертовом пространстве и в пространстве функций. Может быть, теперь стало понятнее. Надеюсь, я не напутал с этим. Пожалуйста, скажите мне, если я ошибаюсь.

Ну, с чистой математической точки зрения, "объект"$\langle x | \frac{\partial}{\partial x}| x\rangle$совершенно бессмысленно, даже если судить по либеральному взгляду Дирака на использование огромной смеси плохо определенных математических выражений. В стандартной (дираковской) математической интерпретации скобочного формализма квантовой механики (см. quant-ph/0502053 v1) мы имеем:

• $\langle x |$является решением спектрального уравнения для двухпозиционного оператора$x'$в 1D (неограниченное движение, т.е.$\sigma(x)=\mathbb{R}$) в абстрактном пространстве$\Phi'$ядерной установки$\Phi\subset \mathcal{H}\subset \Phi'$сложного бесконечномерного гильбертова пространства$\mathcal{H}$в котором проблема CCR Борна-Джордана$[x,p] \subset i\hbar 1_{\mathcal{H}}$корректна в смысле Стоуна-фон-Неймана-Реллиха-Диксмайера.
• $|x\rangle$есть решение той же задачи, но с антидвойственным оператором$x^\times$и$\Phi^\times$топологический антидвойственный$\Phi$.

Тот факт, что эти два объекта являются элементами из разных пространств, не столь смущает, их можно по существу идентифицировать по их действию на один и тот же вектор.$\phi\in\Phi$. Топологически они одинаковы, независимо от того, какая топологизация используется. Единственная проблема в том, что оператор$\partial_x$уже использует так называемую реализацию абстрактной RHS$\Phi\subset \mathcal{H}\subset \Phi'$набором функций и распределений, поэтому этот оператор, действующий либо справа, либо слева от выражения Дирака$\langle x | \frac{\partial}{\partial x}| x\rangle$просто не определяется.

Реализация абстрактной РГО набором (классов эквивалентности) функций и распределений осуществляется только на формальном уровне путем определения формальных объектов, таких как$\langle x |p\rangle$(формальность здесь означает, что нет возможности комбинировать бюстгальтер и кет, определенные отдельно, как указано выше, для получения истинного умеренного распределения):

Без этой реализации действительно невозможно представить расширение оператора частной производной от$\Phi$к$\Phi'$или$\Phi^\times$, потому что, как объяснено, он не действует на пространство бюстгальтера и кет.