Когда вы решаете уравнения гравитации вакуумного поля вы приходите к выводу, что пространство-время является плоским с точки зрения скалярной кривизны, когда вы выбрали подходящий метрический тензор. Однако, если вы вычисляете скалярный инвариант Кречмана, он не обязательно равен нулю, что указывает на то, что выбранное вами многообразие не является плоским...
Пример — раствор Шварцшильда
Решение Шварцшильда дается формулой
где — обычный линейный элемент двумерной сферы. Для уравнения тензорного поля Эйнштейна удовлетворяются, т. е. пространство-время является плоским. Однако скаляр Кречмана идет как
Вопрос
В чем разница между скалярной кривизной Кречмана и скалярной кривизной Риччи с точки зрения непрофессионала?
Метрика Шварцшильда построена в предположении сферически симметричного пространства-времени, следующего за статической сферической массой. Это вакуумное решение EFE (уравнения поля Эйнштейна), но ограниченное сферической симметрией.
Следовательно, пространство-время Шварцшильда не является плоским, даже если тензор кривизны Риччи
и скаляр кривизны Риччи
равны нулю.
Многообразие является плоским, если тензор кривизны Римана
исчезает везде, чего нет у Шварцшильда. Если тензор Римана равен нулю, тензор Риччи и скаляр также равны нулю, но обратное не обязательно верно.
Кайл Канос