Какова геометрическая интерпретация тензора Эйнштейна Rμν−12gμνRRμν−12gμνRR_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R?

TL;DR:

$\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$вытекает из следующего утверждения - гравитационно-магнитных зарядов не существует.

Длинный ответ

Когда вы пытаетесь понять что-то интуитивно, всегда помогает сравнить это с другими вещами, для которых у вас уже есть интуиция!

Начнем с электромагнетизма. Это описывается в терминах напряженности поля$F_{\mu\nu}$что удовлетворяет тождеству Бьянки

Мы также можем распространить это на неабелевы калибровочные теории, где тождество Бьянки принимает несколько более сложную форму.

В ОТНОШЕНИИ. Если вы не знакомы с неабелевыми калибровочными теориями, просто подумайте о$A_\mu$как матрица с элементами$(A_\mu)^a{}_b$и$[A,B] = AB-BA$обозначает матричную коммутацию. Напряженность поля определяется через$A$как

Поняв эту интуицию, давайте перейдем к гравитационному случаю! Грубо говоря, символ Кристоффеля$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$— наше неабелево калибровочное поле (представьте его как$(A_\mu)^\lambda{}_\nu = \Gamma^\lambda_{\mu\nu}$а тензор Римана - это наша напряженность поля,

Тождество Бьянки для тензора Римана:

Сохранение тензора Эйнштейна — это всего лишь одно сокращение приведенного выше тождества Бьянки (докажите это, сокращая тождество с$g^{\alpha\rho} g^{\mu\sigma}$).

PS - Этот ответ, кажется, предполагает, что гравитация - это просто особый тип неабелевой калибровочной теории. На самом деле это не так из-за других проблем. Однако подача здесь хороша для интуиции.

TL;DR- Общая теория относительности (ОТО) основана на общей координатной инвариантности; это означает, что физика инвариантна относительно общего преобразования координат (ОКП). Эта инвариантность влечет свернутые тождества Бьянки ($\nabla_\nu G^{\mu \nu} =0$), которые, в свою очередь, дают нам ограничения на уравнения движения. Нам все равно нужны были некоторые ограничения, поскольку мы допускали произвольные GCT в начале. Что уравнения поля Эйнштейна не определяют$g_{\mu \nu}$однозначно, но только до$4$произвольные преобразования координат, объясняется сжатыми тождествами Бьянки.

Игнорирование факторов$16$и$\pi$на протяжении всего ответа действие Эйнштейна-Гильберта равно

При произвольных вариациях метрики$\delta g^{\mu \nu}$, принцип наименьшего действия$\delta S=0$дает нам уравнения движения Эйнштейна в вакууме:$G_{\mu \nu}=0$. (Вы можете повторить процедуру, добавив материальный лагранжиан). Так$G_{\mu \nu}$- бесисточниковая часть уравнений движения для метрического поля$g_{\mu \nu}$. В$3+1$размеры,$G_{\mu \nu}$является уникальным тензором (помимо самого метрического тензора), который построен из$g_{\mu \nu}$и его первая и вторая производные, симметрична по двум индексам и бездивергентна ( теорема Лавлока ). В более высоких измерениях,$G_{\mu \nu}$больше не уникален, если вы допускаете нелинейные функции 2-х производных метрики. Но если вы допускаете только линейные функции 2-х производных метрики,$G_{\mu \nu}$остается уникальным.

Но не торопясь с получением уравнений движения, можно извлечь полезную информацию уже из вида изменения действия в$(1)$.

GR должен быть инвариантным относительно GCT, поэтому$S$должен быть инвариантным относительно GCT$\Rightarrow \delta S = 0$в соответствии с GCT:$x \rightarrow x'$. Что это может нам сказать? Достаточно рассмотреть бесконечно малые GCT. Итак, предположим

При этом бесконечно малом ОКТ оцените изменение метрического тензорного поля,

Обратите внимание на симметрию индексов$\mu, \nu$. Заменять$(2)$в$(1)$получить

Интегрирование по частям и использование теоремы Гаусса дает

напоминая, что$\epsilon_\mu$произволен в$V$и что$\epsilon_\mu = 0$на$\partial V$, мы видим, что требуя инвариантности действия,$\delta S=0$, под GCT подразумевается

уравнения Эйнштейна$G_{\mu \nu} = T_{\mu \nu}$кажется, они подразумевают, что есть$10$уравнения для$10$неизвестные в$g_{\mu \nu}$. Но это не вся история. Поскольку нам разрешено делать GCT, уравнения Эйнштейна не определяют однозначно$g_{\mu \nu}$, но только до$4$произвольные преобразования координат. $4$уравнения в$\nabla_\nu G^{\mu \nu} =0$укажите недостающую ссылку. Явно переписывая тождества Бьянки в терминах времениподобных компонентов$G^{\mu \nu}$, мы видим

Расходимость тензора Риччи тождественно$\nabla^\mu R_{\mu \nu} = \frac{1}{2}g_{\mu \nu} R$, как следствие тождеств Бьянки. Таким образом, тензор Эйнштейна по построению представляет собой тензор Риччи за вычетом его дивергенции. На самом деле, хотя это и не очевидно, теорема Лавлока подразумевает, что тензор Эйнштейна является единственным бездивергентным тензором, который зависит только от$g_{ab}$и его первые две производные. Я думаю, что это самое близкое к «интуитивному» пониманию, которое действительно существует.

Это само по себе является геометрической вещью и не имеет ничего общего с физикой. Затем физика объясняет, почему мы должны заботиться о вышеупомянутых свойствах: если мы хотим связать метрику с бездивергентным тензором второго ранга (т. е. с тензором энергии-импульса), а для физических задач с начальными значениями требуется только положение и скорость», а для того, чтобы физика была явно координатно-инвариантной, тензор Эйнштейна — единственная игра в городе.

Стоит отметить, что первоначальная теория гравитации Эйнштейна, теория Entwurf, на самом деле использовала уравнения поля

который должен был быть связан с условием координат , обеспечивающим это$R_{\mu \nu}$быть бездивергентным. Это идентично общей теории относительности в вакууме и фактически является теорией, которую Эйнштейн использовал для предсказания прецессии перигелия Меркурия. Тензор Эйнштейна был введен, чтобы восстановить полную координатную инвариантность, имея$\nabla^\mu T_{\mu \nu} = 0$реализуется на уровне уравнений поля.

С риском быть отвергнутым, без каких-либо веских аргументов, я могу сказать вам, что вы можете понимать эти уравнения как релятивистские уравнения гидродинамики, поэтому уравнение G можно рассматривать как своего рода уравнение неразрывности. Это указывает на сохранение энергии-импульса. Мой совет: погуглите релятивистскую гидродинамику.