Как я могу получить оси эллипса поляризации от вектора света Джонса?

Question

Как я могу получить оси эллипса поляризации от вектора света Джонса?

Физика
Оптика
Поляризация
Электромагнетизм
Электромагнитное-излучение

Эмилио Пизанти

Я анализирую состояние поляризации монохроматического когерентного источника света, для которого я знаю вектор поляризации Джонса ,

Е знак равно (\begin{matrix} Е_{Икс} \\ Е_{Y} \end{matrix}) знак равно (\begin{matrix} | Е_{Икс} | е^{я φ_{Икс}} \\ | Е_{Y} | е^{я φ_{Y}} \end{matrix}),

и я хотел бы расширить его с точки зрения большой и малой оси эллиптичности, то есть в виде

Е знак равно е^{я φ} (\hat{U} + я В \hat{v}) знак равно е^{я φ} ((\begin{matrix} соз (θ) \\ грех (θ) \end{matrix}) + я В (\begin{matrix} - грех (θ) \\ соз (θ) \end{matrix})),

или как показано графически следующим образом:

^{Источник изображения}

Википедия предоставляет многошаговую процедуру, описывающую параметры Стокса , но я думаю, что, безусловно, есть более чистый и более прямой способ получить $A$ , $B$ $B$ $В$ , $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{U}$ , $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ , $θ$ $θ$ $θ$ и компоненты $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $\hat{U}$ и $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $В \hat{v}$ , от $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $Е_{Икс}$ и $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $Е_{Y}$ и это не особенно очевидно из результатов поиска, которые я могу найти. Какой самый чистый способ сделать это?

Чтобы быть ясным: то, что я думаю, отсутствует в существующих ресурсах, и то, о чем непосредственно спрашивается вопрос, - это явный набор соединений, максимально простой, для названных параметров (все $A$ , $B$ $B$ $В$ , $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{U}$ , $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ , $θ$ $θ$ $θ$ и компоненты $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $\hat{U}$ и $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $В \hat{v}$ ), с точки зрения декартовых компонент $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $Е_{Икс}$ и $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $Е_{Y}$ , Схемы, которые просто отправляют какой-то другой набор сложных манипуляций, уже доступны в Википедии и не являются тем, о чем вопрос.

ЧР Дрост

Просто чтобы быть ясно, этот график, который вы проводите из Википедии, кажется, что-то вроде точек

(п (ψ), Q (ψ)) знак равно (| Е_{Икс} | соз (ψ + φ_{Икс}), | Е_{Y} | соз (ψ + φ_{Y}),

Что мешает предприимчивому студенту, скажем, минимизировать / максимизировать

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

п^{2} + Q^{2}

найти что-то вроде (метод ректального извлечения)

загар (2 ψ_{с}) знак равно - (| Е_{Икс} |^{2} грех (2 φ_{Икс}) + | Е_{Y} |^{2} грех (2 φ_{Y})) / (| Е_{Икс} |^{2} соз (2 φ_{Икс}) + | Е_{Y} |^{2} соз (2 φ_{Y}))

а затем дать вам кучу ответов с точки зрения

ψ_{c}

ψ_{c}

ψ_{c}

ψ_{c}

ψ_{с}

? Разве это не достаточно элегантно, чтобы иметь этот грязный арктангенс в середине?

Миша

Чтобы выразить поле в системе координат эллипса, вы должны найти собственные оси этого эллипса по вектору поляризации Джонса. Единственный способ сделать это, я знаю, это диагонализация

2 \times 2

2 \times 2

2 \times 2

матрица. Матрица для диагонализации в этом процессе является матрицей плотности света. Разложение этой матрицы на матрицы Паули дает вам параметры Стокса. Итак, это не вопрос физики, а вопрос о том, как упростить вычисления, не так ли?

Джек

Может быть, вы могли бы прочитать шестую главу [в этой книге] [1]. [1]: optics.byu.edu/BYUOpticsBook_2015.pdf

Ответы (3)

Как я могу получить оси эллипса поляризации от вектора света Джонса?

Просто чтобы быть ясно, этот график, который вы проводите из Википедии, кажется, что-то вроде точек $(п (ψ), Q (ψ)) знак равно (| Е_{Икс} | соз (ψ + φ_{Икс}), | Е_{Y} | соз (ψ + φ_{Y}),$ Что мешает предприимчивому студенту, скажем, минимизировать / максимизировать $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $п^{2} + Q^{2}$ найти что-то вроде (метод ректального извлечения) $загар (2 ψ_{с}) знак равно - (| Е_{Икс} |^{2} грех (2 φ_{Икс}) + | Е_{Y} |^{2} грех (2 φ_{Y})) / (| Е_{Икс} |^{2} соз (2 φ_{Икс}) + | Е_{Y} |^{2} соз (2 φ_{Y}))$ а затем дать вам кучу ответов с точки зрения $ψ_{c}$ $ψ_{c}$ $ψ_{c}$ $ψ_{c}$ $ψ_{с}$ ? Разве это не достаточно элегантно, чтобы иметь этот грязный арктангенс в середине?
Чтобы выразить поле в системе координат эллипса, вы должны найти собственные оси этого эллипса по вектору поляризации Джонса. Единственный способ сделать это, я знаю, это диагонализация $2 \times 2$ $2 \times 2$ $2 \times 2$ матрица. Матрица для диагонализации в этом процессе является матрицей плотности света. Разложение этой матрицы на матрицы Паули дает вам параметры Стокса. Итак, это не вопрос физики, а вопрос о том, как упростить вычисления, не так ли?
Может быть, вы могли бы прочитать шестую главу [в этой книге] [1]. [1]: optics.byu.edu/BYUOpticsBook_2015.pdf

Wolpertinger · Answer 1

Позвольте мне попробовать второй раз. Я использую https://math.stackexchange.com/questions/1204131/converting-a-rotated-ellipse-in-parametric-form-to-cartesian-form в качестве ресурса.

Предыдущие манипуляции

Физическое электрическое поле

Е_{п час Y s} знак равно р е [Е е^{я ω T}] знак равно р е [(\begin{matrix} | Е_{Икс} | е^{я φ_{Икс}} \\ | Е_{Y} | е^{я φ_{Y}} \end{matrix}) е^{я ω T}] знак равно (\begin{matrix} | Е_{Икс} | соз (ω T + φ_{Икс}) \\ | Е_{Y} | соз (ω T + φ_{Y}) \end{matrix}) знак равно (\begin{matrix} | Е_{Икс} | [соз (ω T) соз (φ_{Икс}) - грех (ω T) грех (φ_{Икс})] \\ | Е_{Y} | [соз (ω T) соз (φ_{Y}) - грех (ω T) грех (φ_{Y})] \end{matrix})

Это параметрическое уравнение для эллипса, который отслеживается электрическим полем.

Угол главных осей

Позволять

знак равно | Е_{Икс} | соз (φ_{Икс})

б знак равно | Е_{Икс} | грех (φ_{Икс})

с знак равно | Е_{Y} | соз (φ_{Y})

d знак равно | Е_{Y} | грех (φ_{Y})

Затем в сравнении со связанным вопросом math.SE принятый ответ гласит, что главная и малая оси указывают на эллипс (который центрирован на начале координат).

ω T знак равно \frac{1}{2} агс \frac{2 (б + с d)}{(^{2} + с^{2}) - (б^{2} + d^{2})} + \frac{К π}{2} (0 \leq К \leq 3),

Расширение требуется OP

На самом деле эта величина является углом $θ$ $θ$ $θ$ в расширении, фигурирующем в вопросе ОП. Однако в зависимости от того, какое значение для $k$ $k$ $К$ может быть выбран в $π / 2 - θ$ $π / 2 - θ$ $π / 2 - θ$ $π / 2 - θ$ $π / 2 - θ$ необходимо различать регистр в зависимости от сектора арктана.

Это, конечно, также дает $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{U}$ и $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ Таким образом, теперь расширение можно легко получить, спроецировав вектор Джонс на этот базис.

Формулы могут быть вместе, но представляют собой близкое решение проблемы формы вплоть до разграничения выбора случая $k$ $k$ $К$ , Я не понимаю, как может существовать более простое решение, поскольку формула для заданного угла не представляется алгебраически сводимой.

Извиняюсь за то, что не присудил награду, но это было довольно мало того, что я искал. Теперь я нашел чистые выражения, которые были после, и добавил их в качестве ответа.
@ EmilioPisanty не беспокойтесь, теперь я понимаю, что вы имеете в виду (см. Комментарий ниже вашего ответа).

Эмилио Пизанти · Answer 2

Самый чистый способ сделать это предлагает Майкл Берри в газете

Индексные формулы для особых линий поляризации. М. В. Берри, J. Opt. A: Чистое приложение Оптик 6 , 675–678 (2004) , автор eprint .

В нотации Берри электрическое поле можно записать в виде

Е знак равно п + я Q знак равно е^{я γ} (+ я В),

где

P

P

п

,

Q

Q

Q

,

A

и

B

B

В

являются действительными векторами,

A

и

B

B

В

являются соответственно главной и малой осями эллипса поляризации, и эти две определены с точностью до знака

A \cdot B = 0

A \cdot B = 0

\cdot В знак равно 0

и

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

| | \geq | В |

, В этих обозначениях оси поляризации и фаза определяются как

γ знак равно \frac{1}{2} Arg (Е \cdot Е) и + я В знак равно \frac{\sqrt{Е^{*} \cdot Е^{*}}}{| \sqrt{Е^{*} \cdot Е^{*}} |} Е,

или другими словами

знак равно \frac{1}{| \sqrt{Е^{*} \cdot Е^{*}} |} р е [\sqrt{Е^{*} \cdot Е^{*}} Е] и В знак равно \frac{1}{| \sqrt{Е^{*} \cdot Е^{*}} |} я м [\sqrt{Е^{*} \cdot Е^{*}} Е],

Существует очевидная двусмысленность, в которой

A

и

B

B

В

и добавление

π

π

π

в

γ

γ

γ

ничего не изменит (т. е. вращение эллипса поляризации на 180 ° эквивалентно добавлению фазы), что отражается в разрезах ветвей как аргумента, так и функций квадратного корня. Они естественным образом сцепляются друг с другом до тех пор, пока оба разреза ответвлений выполняются на одном разрезе, в идеале вдоль отрицательной реальной оси.

В качестве еще одного сложного момента следует отметить, что эти формулы не определены, когда $E \cdot E = 0$ $E \cdot E = 0$ $Е \cdot Е знак равно 0$ , что соответствует круговой поляризации; в этом случае как оси поляризации, так и фаза $γ$ $γ$ $γ$ на большой оси плохо определены, так что это не проблема.

В качестве дополнительного бонуса этот подход также, естественно, дает направление нормали к плоскости эллипса поляризации в виде

С знак равно \frac{1}{2} я м (Е^{*} \times Е) знак равно п \times Q знак равно \times В,

где перекрестное произведение

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

Е^{*} \times Е

естественно мнимый, так как его сопряженный минус сам по себе. Конечно, это исчезнет, если

E

E

Е

и

E^{*}

E^{*}

E^{*}

E^{*}

Е^{*}

(или же

P

P

п

и

Q

Q

Q

) линейно зависимы, что соответствует линейной поляризации; в этом случае,

B

B

В

исчезнет, потому что

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{Е^{*} \cdot Е^{*}} Е

естественно реально.

Ягодные кредиты

Поляризационные особенности в параксиальных векторных полях: морфология и статистика. МР Деннис, Опт. Commun. 213 , 201–21 (2002) , eprint .

для этой формы, и эта ссылка содержит более полное доказательство того, как и почему работает разложение.

Это, на самом деле, довольно просто, когда вы понимаете, что разложение как $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $Е знак равно е^{я γ} (+ я В)$ как указано выше, должно существовать, потому что при этих условиях скалярное произведение сводится к

Е \cdot Е знак равно е^{2 я γ} (+ я В) \cdot (+ я В) знак равно е^{2 я γ} (^{2} - В^{2}),

где

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

^{2} - В^{2}

реальна и позитивна, поэтому принятие аргументов обеих сторон, естественно, дает фазу

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ знак равно Arg (Е \cdot Е),

Точно так же, принимая модуль этого уравнения возвращает

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

^{2} - В^{2} знак равно | Е \cdot Е |

Таким образом, мы можем просто получить фазовый фактор как

е^{2 я γ} знак равно \frac{Е \cdot Е}{^{2} - В^{2}} знак равно \frac{Е \cdot Е}{| Е \cdot Е |}, так е^{я γ} знак равно \frac{\sqrt{Е \cdot Е}}{| \sqrt{Е \cdot Е} |}, и поэтому е^{- я γ} знак равно \frac{\sqrt{Е^{*} \cdot Е^{*}}}{| \sqrt{Е^{*} \cdot Е^{*}} |};

характеристика для

A + i B

A + i B

+ я В

затем следует из

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

Е знак равно е^{я γ} (+ я В)

просто разделив на

e^{i γ}

e^{i γ}

e^{i γ}

e^{i γ}

е^{я γ}

,

это справедливо, я вижу, как это аккуратнее. Изначально это казалось мне геометрической проблемой, поэтому я ответил довольно коротким ответом. Я также думаю, что ваше решение здесь обеспечивает больше физического понимания благодаря разумному использованию параметризации и сложных операций. Поэтому +1 от меня

LedHead · Answer 3

Я думаю, что вы можете сделать это с помощью разложения по сингулярным числам. Я начну писать $E$ $E$ $Е$ в следующей форме

$E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $Е знак равно Е_{Икс} \hat{Икс} + Е_{Y} \hat{Y} знак равно Е_{U} \hat{U} + Е_{v} \hat{v}$

где $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $Е_{Икс}$ и $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $Е_{Y}$ известны комплексные числа. В общем $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $Е_{Икс} Е_{Y}^{*} \neq 0$ , но мы хотим $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $Е_{U} Е_{v}^{*} знак равно 0$ , Мы можем записать это в виде матрицы как

$(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{Икс} & \hat{Y} \end{array}) (\begin{matrix} Е_{Икс} \\ Е_{Y} \end{matrix}) знак равно (\begin{array}{cc} \hat{U} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} Е_{U} \\ Е_{v} \end{matrix})$

Мы должны быть в состоянии написать

$(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{Икс} & \hat{Y} \end{array}) знак равно (\begin{array}{cc} \hat{U} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$

где $Λ$ $Λ$ $Λ$ является реальной, ортогональной матрицей, которая описывает вращение систем координат. В настоящее время неизвестно. Поскольку мы предполагаем, что $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{Икс}$ и $\hat{y}$ $\hat{y}$ $\hat{y}$ $\hat{y}$ $\hat{Y}$ ортогональны, то $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{U}$ и $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ также будет ортогональным. И мы можем также написать

$(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} Е_{Икс} \\ Е_{Y} \end{matrix}) знак равно (\begin{matrix} 1 \\ я \end{matrix})$

где $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $знак равно (\begin{array}{cc} б \\ с & d \end{array})$ известная реальная матрица Мы можем разложить $A$ используя разложение по сингулярному значению

$A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $знак равно U S В^{T}$

где $U$ $U$ $U$ , $S$ $S$ $S$ , и $V$ $V$ $В$ являются реальными матрицами. $U$ $U$ $U$ и $V$ $V$ $В$ являются ортогональными матрицами и $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S знак равно (\begin{array}{cc} 0 \\ 0 & В \end{array})$ где $A$ и $B$ $B$ $В$ положительно с $A \geq B$ $A \geq B$ $\geq В$ ,

Это все дает

$Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S В^{T} (\begin{matrix} 1 \\ я \end{matrix}) знак равно (\begin{matrix} Е_{U} \\ Е_{v} \end{matrix})$

Если мы выберем $Λ = U$ $Λ = U$ $Λ знак равно U$ , который дает $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{U}$ и $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ , то это сводится к

$S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S В^{T} (\begin{matrix} 1 \\ я \end{matrix}) знак равно (\begin{matrix} Е_{U} \\ Е_{v} \end{matrix})$

поскольку $V$ $V$ $В$ является ортогональной матрицей, поэтому $V^{T}$ $V^{T}$ $V^{T}$ $V^{T}$ $В^{T}$ , и $S$ $S$ $S$ диагонально и реально, так $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $Е_{U} Е_{v}^{*} знак равно 0$ ,

Я написал это немного спеша, поэтому я мог что-то пропустить или был неточным. Я прошу прощения, если это так.

Как я могу получить оси эллипса поляризации от вектора света Джонса?

Эмилио Пизанти

ЧР Дрост

Миша

Джек

Ответы (3)

Wolpertinger

Эмилио Пизанти

Wolpertinger

Эмилио Пизанти

Wolpertinger

LedHead

LedHead

Если фотоны несут 1 спиновую единицу, почему у видимого света нет углового момента?

Как сокращение длины может привести к круговому движению электрона в магнитном поле?

Электромагнитная черная дыра?

Проблема электромагнетизма: откуда берется магнитное поле?

Как объясняются явления классической оптики в КЭД (закон Снелла)?

Какой самый сильный практический магнит?

Что происходит на атомном уровне, когда вы соединяете две батареи последовательно, чтобы их напряжение добавлялось?

Дифференциальные и многоступенчатые усилители (BJT)

Как переписать функцию перевода в стандартную форму?

Геометрия черной дыры Шварцшильда в координатах Новикова