Проблема электромагнетизма: откуда берется магнитное поле?

Да, в цепи действительно есть ток, однако предлагаемое решение остается в силе, хотя для его обоснования требуются дополнительные аргументы. Я утверждаю, что предположения J = 0 , ∂ Е ∂ T = 0 действительны практически везде. В частности, они выходят из строя в пределах контура проводимости и в его небольшой окрестности, размер которой составляет порядка диаметра проволоки. Поскольку мы предполагаем, что провода бесконечно тонкие, макроскопически предположения верны, но важно помнить микроскопические детали.

Я буду использовать уравнения Максвелла в гауссовых единицах, чтобы избежать надоедливых μ 0 и ε 0 «S. Для справки они выглядят следующим образом:

Это подразумевает (при условии, что S ( т ) область плоскости, ограниченная L ( т ) )

Однако весь ток течет в плоскости S ( т ) таким образом, его поток через S ( т ) является 0 ,

Термин с частными производными сложнее для изучения. Прежде всего отметим, что макроскопически нет свободных зарядов в том смысле, что макроскопическое распределение зарядов является постоянным во времени. Также система является квазистационарной, так как скорость V ≪ C --- это позволяет нам исключить любые электромагнитные волны из проблемы и работать только с зарядами и токами. Это подразумевает, что макроскопически Е является стационарным, но если бы мы предполагали глобально ∂ Е ∂ T = 0 тогда уравнения Максвелла будут означать, что В а также J также являются стационарными и всегда 0 , Чтобы увидеть, что это не так, мы должны рассмотреть, что происходит в самом проводе.

Мы предполагаем, что провод является идеальным проводником с нулевым сопротивлением. Закон Ома говорит, что в проводе E = ρ J , если ρ = 0 тогда конечный ток подразумевает E = 0 внутри провода (РЕДАКТИРОВАТЬ: так как нас интересует только вертикальная составляющая Е и не может быть вертикального тока, Е Z = 0 в проводе, даже если ρ ≠ 0 ). Таким образом, мы видим, что даже до начала движения поле не равно Е 0 везде --- это 0 внутри провода и имеет некоторую промежуточную ценность в его окрестностях. Это также показывает, что во всем мире Е не является стационарным --- движение проволоки вызывает движение нулей Е и экранирующих зарядов в проводе. Это, в свою очередь, вызывает магнитное поле и индуцированный ток. Если мы попытаемся вычислить производную, то увидим, что возле провода Е изменения от Е 0 в 0 на бесконечно малом интервале времени, поэтому производная имеет некоторую дельта-функцию- подобную форму, обеспечивая некоторое конечное (как правило) ненулевое значение для интегралов.

Для расчета поверхностного интеграла ∂ Е ∂ T нам нужно преобразовать его в более управляемую форму, что-то вроде производной от непрерывной функции. Общая формула для полной производной нестационарного поверхностного интеграла имеет вид

Вот δ S ( т ) является бесконечно малым изменением поверхности S ( т ) и я предполагаю, что S ( т ) варьируется, добавляя дополнительную площадь, как в проблеме (то есть без движения интерьера). Это обычное правило для расчета производных. В нашей проблеме F = E и поверхность выбирается так, чтобы ее граница проходила внутри проволочной петли. Это означает, что E = 0 возле границы S ( т ) и, таким образом, интеграл по изменению площади 0 , так что второй член исчезает, и мы имеем

поскольку Е везде ограничен и почти везде равен Е 0 , ответ на вашу проблему следует.

Обратите внимание, что тираж В не зависит от конкретного контура, проходящего через провод, но изменится, если мы переместим контур за пределы провода. Также отметим, что если мы рассмотрим бесконечно малую петлю вокруг сечения провода, то циркуляция В будет конечным ненулевым, если через участок проходит ненулевой ток. Это демонстрирует, что когда задача задает интеграл по периметру, мы должны точно учитывать периметр, даже небольшое изменение даст неправильный ответ.

Ваше понимание, изложенное в 2. правильно! В интегральной форме четвертого уравнения Максвелла с изменяющейся во времени поверхностью интегрирования, дифференцирование времени остается внутри интеграла:

Приложение после ответа Антона Фетисова:
В своем правильном и глубоком анализе проблемы он рассматривает эффекты конечного размера металлического провода и электрических зарядов, вызванных на его поверхности однородным электрическим полем заряженной плоскости, которые необходимы для создания нулевого полного электрического поля. в проводах. Эти наведенные заряды и связанная с этим деформация электрического поля вокруг провода движутся со скоростью v в Икс -направление.

Таким образом, с этой точки зрения существуют токи и изменяющиеся во времени электрические поля, что не согласуется с двумя основными предположениями, сделанными в задаче, а именно: J = 0 а также ∂ Е ∂ T = 0 , Вторая ошибка - это решение с неправильной интегральной формой 4-го уравнения Максвелла для изменяющейся во времени поверхности / контура интегрирования