Как я могу связать линейное и угловое движение, используя одну формулу? [закрыто]

Используйте пространственную инерцию, чтобы связать линейный/угловой момент с изменениями линейной/угловой скорости.

$$\begin{pmatrix} \vec{L}\\ \vec{H}_A \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} m {\bf 1}_{3×3} & -m [\vec{c}\times] \\ m [\vec{c}\times] & I_{cm}-m [\vec{c}\times][\vec{c}\times] \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \Delta\vec{v}_A\\ \Delta \vec{\omega} \end{pmatrix}$$

_{ссылка: Википедия уравнений Ньютона – Эйлера .}

где$\vec{L}$- чистый линейный импульс (импульс),$\vec{H}_A$— ближний угловой момент в точке A .$\Delta \vec{v}_A$- изменение линейной скорости в той же точке и$\Delta{\omega}$изменение скорости вращения.

Скалярная масса$m$и$I_{cm}$- момент инерции массы в центре масс. Окончательно$[\vec{c}\times$] — кососимметричная матрица 3 × 3, представляющая оператор векторного векторного произведения. См. https://physics.stackexchange.com/a/111081/392 . Вектор$\vec{c}$- положение центра масс здесь относительно A .

Совокупный импульс, а также результирующее движение представляет собой пространственный винт , отношение линейных свойств к угловым которого называется шагом. Подробнее см. https://physics.stackexchange.com/a/80552/392 . Также посмотрите на таблицу ниже, чтобы узнать, как извлечь свойства винтов (положение, направление и шаг) из различных типов винтов.

$$\begin{array}{cccc} \mbox{Property} & \mbox{Velocity (Twist)} & \mbox{Momentum (Wrench)} & \mbox{Force (Wrench)}\\ \hline \mbox{Screw} & \hat{v}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{v}_{A}\\ \vec{\omega} \end{pmatrix} & \hat{\ell}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{L}\\ \vec{H}_{A} \end{pmatrix} & \hat{f}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{F}\\ \vec{\tau}_{A} \end{pmatrix}\\ \mbox{Direction} & \vec{e}=\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|} & \vec{e}=\frac{\vec{L}}{|\vec{L}|} & \vec{e}=\frac{\vec{F}}{|\vec{F}|}\\ \mbox{Magnitude} & \omega=|\vec{\omega}| & L=|\vec{L}| & F=|\vec{F}|\\ \mbox{Position} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_{A}}{|\vec{\omega}|^{2}} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{L}\times\vec{H}_{A}}{|\vec{L}|^{2}} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{F}\times\vec{\tau}_{A}}{|\vec{F}|^{2}}\\ \mbox{Pitch} & h=\frac{\vec{\omega}\cdot\vec{v}_{A}}{|\vec{\omega}|^{2}} & h=\frac{\vec{L}\cdot\vec{H}_{A}}{|\vec{L}|^{2}} & h=\frac{\vec{F}\cdot\vec{\tau}_{A}}{|\vec{F}|^{2}} \end{array}$$

PS. Если вы предоставите более конкретную информацию, я могу предоставить пример того, как вышеизложенное можно использовать для получения того, что вы хотите.

Изменить 1

Обратная пространственная матрица инерции

$$\begin{pmatrix}\Delta\vec{v}_{A}\\ \Delta\vec{\omega} \end{pmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{m}-\vec{c}\times I_{cm}^{-1}\vec{c}\times & \vec{c}\times I_{cm}^{-1}\\ -I_{cm}^{-1}\vec{c}\times & I_{cm}^{-1} \end{bmatrix}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ \vec{H}_{A} \end{pmatrix}$$

Это используется в программировании игр для обработки импульсов (см. уравнение 18-8 в http://www.cs.cmu.edu/~baraff/sigcourse/notesd2.pdf ) .

Редактировать 2

Кинетическая энергия твердого тела с пространственной матрицей инерции 6×6$\hat{I}_A$определяется

$$K=\frac{1}{2} \hat{v}_A^\top \hat{I}_A \hat{v}_A =\frac{1}{2} \hat{\ell}_A^\top \hat{I}_A^{-1} \hat{\ell}$$

где$\hat{v}_A = (\vec{v}_A,\vec{\omega})$и$\hat{\ell}_A = (\vec{L},\vec{H}_A)$.

Самый простой способ справиться с вашим случаем - рассмотреть инерцию в центре масс и зафиксировать угловой момент как$\vec{H}_C = -\vec{c}\times \vec{L}$производящий винт пространственного импульса$\hat{\ell}_C = (\vec{L}, -\vec{c} \times \vec{L})$с импульсом$\vec{L} = \int \vec{F}\,{\rm d}t$. Обратная пространственная инерция в центре масс представляет собой блочную диагональную матрицу 6 × 6.$\hat{I}_C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{m} & \\ & I_C^{-1} \end{bmatrix}$производство кинетической энергии

$$K = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ -\vec{c}\times\vec{L} \end{pmatrix}^{\top}\begin{bmatrix}\frac{1}{m}\\ & I_{C}^{-1} \end{bmatrix}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ -\vec{c}\times\vec{L} \end{pmatrix}$$

Вышеупомянутое может быть расширено с помощью векторных тождеств в

$$\boxed{ K=\frac{1}{2}\vec{L}^{\top}\left(\frac{1}{m}{\bf 1}_{3×3}-[\vec{c}\times] I_{C}^{-1}[\vec{c}\times]\right)\vec{L} }$$

Часть внутри круглых скобок — это обратная эффективная масса твердого тела относительно точки A . Первая часть связана с линейным импульсом, а вторая часть — с угловым моментом (смещение силы). Стержень длиной$s=10 \rm m$имеет момент инерции массы$I_{cm} = {\rm diag}(\frac{1}{12}m s^2, \frac{1}{12}m s^2, 0)$и точка приложения, расположенная в$a=2.5 \rm m$справа от центра масс (с$\vec{c}=(-a,0,0)$).

Если сила приложена по вертикали, то$\vec{L} =(0,\int F{\rm d}t,0)$а кинетическая энергия

$$K = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{m} + \frac{12 a^2}{m s^2} \right) L^2$$ где $L=\int F{\rm d}t$импульсная величина.

Редактировать 3

Конечно, вы можете напрямую прийти к вышеизложенному, оценив обратную пространственную инерцию

$$\hat{I}_{A}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{m} & 0 & \ldots & 0\\ 0 & \frac{1}{m}+\frac{12a^{2}}{ms^{2}} & & \frac{12a}{ms^{2}}\\ \vdots & & \ddots\\ 0 & \frac{12a}{ms^{2}} & & \frac{12}{ms^{2}} \end{bmatrix}$$ и глядя на элемент [2,2] (вдоль поступательной оси y ).

Учитывая импульс$\vec{L} = (0,J,0)$результирующее движение в точке силы A равно

$$\begin{pmatrix} \Delta v_x \\ \Delta v_y \\ \Delta \omega \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{m} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2} & \frac{12 a}{m s^2} \\ 0 & \frac{12 a}{m s^2} & \frac{12}{m s^2} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ J \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \left(\frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2}\right) J\\ \frac{12 a}{m s^2} J \end{pmatrix}$$

Редактировать 4

Центр вращения твердого тела (что дает вам представление о том, насколько оно вращается по сравнению с тем, насколько оно перемещается) определяется (положением оси винта)

$$\vec{r}_{rot} = \vec{r}_A + \dfrac{\Delta \vec{\omega} \times \Delta \vec{v}}{|\Delta \vec{\omega}|^2} =\begin{pmatrix}a\\0\\0\end{pmatrix} + \frac{(0,0,\frac{12 a}{m s^2}J) \times (0, (\frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2})J,0)}{(\frac{12 a}{m s^2}J)^2} =\begin{pmatrix} -\frac{s^2}{12 a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Как видите, количество силы (или импульса) не имеет значения, поскольку геометрия задачи определяется линией действия силы и инерционными свойствами твердого тела. В этом случае центр вращения находится на$r=\frac{10}{3}\,{\rm m}$слева от центра масс. Отношение линейной скорости точки А к линейной скорости центра масс равно

$$\frac{v_A}{v_{cm}} = \dfrac{(a+r)\Delta \omega}{r \Delta \omega} = \dfrac{a+\frac{s^2}{12 a}}{\frac{s^2}{12 a}} = \frac{7}{4}$$

Я еще раз уточню. Предположим, у меня есть 10-метровый стержень (момент инерции известен), и я прикладываю к нему силу 5 Н на расстоянии 2,5 м от оси вращения в течение одной секунды. Как линейную, так и угловую скорость можно узнать, подставив 5N как в F⃗ = ma⃗, так и в τ⃗ = Iα⃗, верно? Хотя мне это кажется нелогичным. Разве сила не распределялась бы некоторым соотношением как по линейному, так и по угловому движению?

Вопрос радикально менялся несколько раз (следовательно, Стивену пришлось удалить свой ответ, а другой ответ стал устаревшим и непонятным). Этот прискорбный факт делает почти невозможным дать адекватный ответ. Еще одна вопиющая аномалия заключается в том, что OP принял этот ответ во второй или третий раз и не отменил его (пока), хотя за него сильно отрицают, и, наконец, мне не разрешено удалять свой собственный ответ, поскольку он является принятым.

Я постараюсь рассмотреть вопрос с общей точки зрения, чтобы охватить все возможные будущие изменения: я рассмотрю стержень из$l=1m$(10 см было бы еще лучше), так как нереально толкнуть 10-метровую удочку и$I = 1/12$. Цифры в любом случае не имеют значения, поскольку ОП не ищет решения конкретной проблемы, а запрашивает общее правило/принцип/формулу, и соотношения всегда одинаковы.

• 1) Если бы стержень был закреплен на оси, эффективная масса стержня на конце (50 см) была бы 1/3, а на расстоянии 0,25 см от ЦМ$m° =4/3 Kg$

• 2) Если стержень свободен и может перемещать точечные массы на конце 1/4, а на 0,25 см.$m°= 4/7 Kg$. **

• 3) если стержень свободен и известен импульс, то довольно легко определить соотношение между линейной и угловой скоростями.

• 4) если стержень свободен и (как требует ОП) вы прикладываете силу K (= 5) Н на расстоянии 0,25 см, эффективная масса стержня в этой точке, конечно, все еще известна, но становится сложным (или невозможным ) определить. Кроме того, вы также должны различать, если:
• а) сила приложена в одном направлении (и здесь по умолчанию так и есть)
• б) если сила вращается вместе с телом

В любом случае есть много осложнений, потому что:

а) если сила действует в одном направлении, нормальная составляющая постепенно уменьшается до нуля (а также есть шанс, что ее нельзя будет приложить в течение 1 секунды)

б) если сила вращается вместе с телом, ЦМ не будет толкаться только вперед, а будет перемещаться во многих направлениях.

За другой ответ проголосовали, хотя он не решает ни одну из этих проблем , не решает вопрос и не дает общей единой формулы, запрошенной вопросом. Это, вероятно, еще одна аномалия : возможно, нужно публиковать и получать голосование только тогда, когда уже найден ответ.

** Я дал вам формулу для ( точечно-массовой ) линейной скорости$v$:$\frac{I}{I+md^2}$и соотношение линейная/вращательная скорость$v/v°$:$\frac{I}{md^2}$так, отношение линейной/угловой скорости$v/\omega$является:$v/\omega = \frac{I}{md}$. Это, как я уже сказал, справедливо только для импульсной/направленной силы. Вы должны уточнить, что вы имели в виду в своем вопросе.

Вопрос довольно общий, но позвольте мне попытаться дать некоторые ответы.

как определить результирующие поступательную и вращательную скорости?

Для поступательной скорости используйте второй закон Ньютона:

$$\vec F= m \vec a$$

Для вращательной (угловой) скорости используйте:

$$\vec \tau=I\vec \alpha$$

найти момент инерции $I$нужно знать геометрию объекта. Для крутящего момента $\vec \tau$использовать определение$\tau=Fr$, где$r$- расстояние до центра вращения (и$F$должна быть перпендикулярной составляющей).

Когда вы это сделаете, используйте ускорение $\vec a$и угловое ускорение $\vec \alpha$соответственно, чтобы найти скорость $\vec v$и угловая скорость $\vec \omega$.

---

Я также ищу уравнения, связывающие поступательную кинетическую энергию с вращательной кинетической энергией в контексте приложения крутящего момента.

Ну, это две разные порции энергии (и я не знаю, что вы имеете в виду под in the context of applying torque). Объект в целом будет содержать полную энергию (сумму):

$$K_{trans}+K_{rot}=½mv^2+½I\omega^2$$

Чтобы остановить такой объект, вам нужно будет поглотить как поступательную , так и вращательную кинетическую энергию. Вы можете рассмотреть эти две части отдельно.

Если вам нужны equations connectingэти две энергии, это должно быть потому, что вы конвертируете одну в другую или выполняете какие-то другие процессы, включающие их обе. Это зависит от того, что вы делаете.