Под каким углом сфера МММ потеряет контакт с неподвижной сферой ООО?

Question

Под каким углом сфера МММ потеряет контакт с неподвижной сферой ООО?

Баба Яга

Есть сфера $M$ покоится на неподвижной сфере $O$ .

Некоторые рекомендации, которые даны:

Проскальзывания нигде нет.

Радиус $M$ является $r$ и что из $O$ является $R$ .

Момент инерции M относительно его центра равен (бета) m r^2.

С бесконечно малым толчком, $M$ начинает катиться вниз $O$ и, наконец, теряет связь с $O$ . В какой момент он теряет связь?

Это тривиальный вопрос с точки зрения энергосбережения. Однако почему мой метод применения того факта, что вывод gn углового момента равен приложенному внешнему крутящему моменту, не работает?

При потере контакта сила трения равна нулю. Таким образом, внешний крутящий момент возникает только благодаря силе тяжести. Поскольку сфера М совершает перемещение и вращение вокруг центра О, я использовал соответствующее выражение углового момента. Производная по времени от v (линейная скорость центра M, когда он теряет контакт) будет только составляющей силы тяжести в направлении v. В чем этот метод не работает? введите описание изображения здесь

Ответы (1)

Под каким углом сфера МММ потеряет контакт с неподвижной сферой ООО?

Абхиджит Мелкани · Answer 1

В этом вопросе есть что-то особенное.

Рассчитаем уравнение момента относительно центра масс катящегося шара:

т "=" ф_{с} р "=" я \frac{г ю}{г т} "=" м р^{2} \frac{г ю}{г т} "=" м р \frac{г в}{г т}

$\tau = f_sr = I\frac{d\omega}{dt} = mr^2\frac{d\omega}{dt} = mr\frac{dv}{dt}$ с

r ω = v

$r\omega = v$ по состоянию качения.

Это показывает нам, что сила трения $f_s$ никогда не будет равно нулю, пока катящаяся сфера идеально катится по поверхности неподвижной сферы.

Другими словами, пока вы используете условие качения в своих решениях, вы не можете приравнивать $f_s$ до нуля!

Поэтому мне это кажется очень искусственной и нереальной проблемой.

Этого и следовало ожидать в реальных условиях: нормальная реакция неподвижной сферы на катящуюся будет уменьшаться по мере того, как сфера движется все ниже и ниже, и достигнет нуля, когда $cos\theta$ составляющая силы тяжести как раз равна центростремительной силе $\frac{mv^2}{R+r}$ . Именно в этот момент две сферы теряют контакт. При этом сила трения, имеющая максимальное значение $\mu N$ задолго до того, как потеря контакта уменьшилась бы до такой степени, что она больше не могла бы поддерживать чистое качение.

Конечно, вы можете настоять на том, чтобы ответить на вопрос так, как он задан. Вот как вы можете это сделать:

Уравнение крутящего момента относительно точки O (все время, пока сферы соприкасаются):

м (р + (1 + β) р) \frac{г в}{г т} "=" м г (р + р) с я н θ - ф р

$m(R + (1+\beta)r)\frac{dv}{dt} = mg(R+r)sin\theta - fR$

Применяя второй закон Ньютона:

м \frac{г в}{г т} "=" м г с я н θ - ф

$m\frac{dv}{dt} = mgsin\theta - f$

Теперь давайте устраним $f$ срок:

м (р + (1 + β) р) \frac{г в}{г т} "=" м г р с я н θ + р м \frac{г в}{г т}

$m(R + (1+\beta)r)\frac{dv}{dt} = mgrsin\theta + Rm\frac{dv}{dt}$

м (1 + β) р \frac{г в}{г т} "=" м г р с я н θ

$m(1+\beta)r\frac{dv}{dt} = mgrsin\theta$

что, наконец, дает:

(1 + β) \frac{г в}{г т} "=" г с я н θ

$(1+\beta)\frac{dv}{dt} = gsin\theta$

Сейчас,

\frac{г в}{г т} "=" \frac{г в}{г θ} . \frac{г θ}{г т} "=" \frac{г в}{г θ} . \frac{в}{р + р}

$\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{d\theta}.\frac{d\theta}{dt} = \frac{dv}{d\theta}.\frac{v}{R+r}$

что дает вам дифференциальное уравнение:

\frac{(1 + β)}{р + р} . \frac{в г в}{г θ} "=" г с я н θ

$\frac{(1+\beta)}{R+r}.\frac{vdv}{d\theta} = gsin\theta$

Интегрируйте, чтобы получить,

\frac{(1 + β)}{р + р} . \frac{в^{2}}{2} "=" - г с о с θ + с

$\frac{(1+\beta)}{R+r}.\frac{v^2}{2} = -gcos\theta + c$ В

θ = 0

$\theta=0$ ,

v = 0

$v=0$ и при необходимом

θ

$\theta$ ,

m g c o s θ = \frac{m v^{2}}{R + r}

$mgcos\theta = \frac{mv^2} {R+r}$

Решите дальше, и вы получите результат, который вы, возможно, получили из соображений работы и энергии, который:

с о с θ "=" \frac{2}{3 + β}

$cos\theta = \frac{2}{3+\beta}$

Это было очень познавательно. Однако думали ли вы о возможности превращения силы трения в кинетическую? Кроме того, как вы утверждали, что он не сможет поддерживать качение, поскольку сравнение силы трения с нормальной силой будет зависеть от коэффициента статического трения и самого (бета)?
Чтобы трение поддерживало качение, оно должно быть равно $m\frac{dv}{dt} which is at all times zero while N and therefore$ \мкН $is tending to zero and reaches zero just as contact is lost. The required friction should always be less than$ \mu N$, который не выполняется.
Я не использовал кинетическое трение. Я просто предположил, что трение покоя удовлетворяет условию качения независимо от величины нормальной реакции.
* который всегда отличен от нуля... требование. Значение трения

Под каким углом сфера МММ потеряет контакт с неподвижной сферой ООО?

Баба Яга

Ответы (1)

Абхиджит Мелкани

Баба Яга

Абхиджит Мелкани

Абхиджит Мелкани

Абхиджит Мелкани

Влияет ли вырубка деревьев на угловой момент вращения Земли?

При каких условиях справедливо соотношение L⃗ =Iω⃗ L→=Iω→\vec{L} =I \vec{\omega}? [дубликат]

Уточнение относительно главных осей при движении твердого тела

Шатающаяся тарелка Фейнмана

Угловое ускорение в твердых телах

Угловой момент и крутящий момент колеблющегося цилиндрического стержня

Расчет пути мяча со вращением, движущегося по столу

Непостоянная угловая скорость на орбите

Механика вращения: возможно ли угловое ускорение без внешнего крутящего момента?

Скорость и угловая скорость шара, катящегося по пандусу