Как я могу триангулировать позицию, используя два DME?

Мы можем найти точный метод для использования в Интернете, в конце концов, это обычная проблема трехмерной тригонометрии. Я буду использовать отчет Michael Geyer US DoT: Earth-Referenceed Aircraft Navigation and Surveillance Analysis . Принцип таков:

• Два расстояния DME определяют две сферы, пересечение которых является окружностью. Самолет находится на этом круге.

• Высота самолета определяет поверхность (в зависимости от того, как измеряется высота, это может быть квазиплоскость или поверхность постоянного давления ), которая пересекает окружность в двух точках. Координаты точек могут быть вычислены по двум расстояниям DME и высоте.

• На самом деле сигналы DME в двух точках идентичны, поэтому один нужно каким-то образом исключить.

Примечание. Исторически триангуляция основывалась на измеренных значениях углов, методы, строго основанные на измеренных дальностях (или псевдодальностях, то есть дальностях с неизвестной, но постоянной ошибкой, как для GNSS), часто называют латерацией , например, трилатерацией при использовании трех точек.

Пересеките две сферы, чтобы получить круг

Наклонное расстояние, определенное с помощью DME, говорит нам, что самолет находится на поверхности сферы с центром на станции DME, радиус которой равен наклонному расстоянию. Путем опроса двух DME определяются две пересекающиеся сферы. Пересечение представляет собой круг (розовый кружок на рисунке ниже). Чем ближе самолет находится к линии, соединяющей две станции DME ( базовая линия ), тем меньше круг, вплоть до одной точки, когда самолет находится точно на базовой линии.

Пересечь круг с поверхностью, чтобы получить две точки

Самолет летит в квазигоризонтальной плоскости. Эта плоскость пересекает круг в двух местах (зеленые точки на рисунке выше), которые симметричны базовой линии и где должен находиться самолет. Используя имеющуюся у нас непосредственную информацию (высоту и наклонную дальность), мы можем вычислить координаты двух точек.

Устранить призрачную локацию

В данный момент самолет может находиться в любой точке и по-прежнему получать одни и те же сигналы DME. В математическом решении это появится при использовании функции вида$\arcsin(x)$, который дает два угла для одного и того же значения x, например, 40° (90°-50°) и 140° (90°+50°).

Существует несколько методов ликвидации виртуальной позиции:

• Следите за движением дрона: если дрон летит на север, верхняя точка перемещается на север, а нижняя — на юг. Мы можем обнаружить такую ​​нелогичную траекторию (например, с помощью прогнозирующего фильтра Калмана ).

• Используйте третью DME: третья сфера дальности будет пересекать две другие только в одной точке.

• Определите пеленг самолета с помощью VOR, предпочтительно совмещенного с одним из DME.

В больших самолетах положение определяется с использованием нескольких средств, включая инерциальные и GNSS, поэтому нетрудно узнать, где приблизительно находится самолет.

Определение координат точек

Случай DME/DME/Elevation сводится к следующему:

• Две станции DME$\small U$и$\small S$с известными широтами, долготами и высотами ($\small L_U$,$\small \lambda_U$,$\small h_U$и$\small L_S$,$\small \lambda_S$,$\small h_S$).
• Самолет A с известной высотой ($\small h_A$).
• Два измеренных наклонных расстояния ($\small d_{UA}$и$\small d_{SA}$)

$\small C$центр Земли (радиус Земли$\small R_e$. Следуя методу, упомянутому ранее, мы выполняем следующие шаги:

• Шаг 0: Преобразование наклонных диапазонов в угловое расстояние
• Шаг 1: Решите сферический треугольник для каждой станции
• Шаг 2: Подтвердите, что входные данные согласованы и существует решение
• Шаг 3: Решите сферический треугольник США
• Шаг 4: Вычислите широту и долготу самолета

Шаг 0: Преобразование наклонных диапазонов в угловое расстояние

Зная высоту и наклонную дальность, можно вычислить углы$\small \theta_{SA}$($\small \widehat{SCA}$) и$\theta_{UA}$($\small \widehat{UCA}$) между DME и самолетом. Для каждого DME$\small x$($\small x$быть либо$\small U$или$\small S$):

$$\theta_{xA} = 2\space \arcsin \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(d_{xA}-h_A+h_x)(d_{xA}+h_A-h_x)}{(R_e+h_x)(R_e+h_A)}} \right)$$

По соглашению нам нужно назвать$\small U$станция, которая находится на западе. Это позволяет нам ссылаться на положение самолета как на «к югу от базовой линии».

Шаг 1: Решите сферический треугольник для каждой станции

Первым фактическим шагом является получение угла$\small \theta_{US}$образован двумя станциями DME и земным центром:

$$\sin \left( \frac{1}{2}\theta_{US} \right) = \sqrt {\sin^2 \left( \frac{1}{2}(L_S-L_U) \right) + \cos(L_S) \cos(L_U) \sin^2 \left( \frac{1}{2}(\lambda_S-\lambda_U) \right)}$$

куда$\small L_U$и$\small L_S$находятся на широте$\small U$и$\small S$и$\small \lambda_U$и$\small \lambda_S$являются долготами$\small U$и$\small S$.

Нам нужно будет знать один из азимутов на концах базовой линии между$\small U$и$\small S$:

$$\tan(\psi_{S/U}) = \frac {\cos(L_S) \sin(\lambda_S - \lambda_U)} {\sin(L_S) \cos(L_U) - \cos(L_S) \sin(L_U) \cos(\lambda_S - \lambda_U)}$$

Шаг 2: Подтвердите, что входные данные согласованы и существует решение

Если наклонные дальности составляют 10 и 15 морских миль, а известное расстояние между станциями составляет 30 морских миль, то фактического решения нет, что-то должно быть не так. На этом шаге проверяется, пересекаются ли две сферы диапазона DME. Мы уже вычислили углы$\small \theta_{UA}$и$\small \theta_{SA}$и между станциями$\small \theta_{US}$:

• Если$\small \theta_{UA} + \theta_{SA} < \theta_{US}$, то сферы не пересекаются (центры слишком удалены)
• Если$\small \left| \theta_{UA} - \theta_{SA} \right| > \theta_{US}$, то сферы концентричны, они не пересекаются.

Шаг 3: Решите сферический треугольник США

Теперь мы знаем три стороны треугольника.$\small \widehat{USA}$, мы можем определить любой из его углов. Нам нужен только угол с вершиной в одной станции:

$$\cos(\beta_U) = \frac {\cos(\theta_{SA}) - \cos(\theta_{US}) cos(\theta_{UA})} {\sin(\theta_{US}) \sin(\theta_{UA})}$$

Шаг 4. Имея все доступные данные, вычислите широту и долготу самолета.

Пришло время решить, какое из двух положений самолета мы хотим, выбрав соответствующий угол азимута на станции.$\small U$(может быть в$\small S$, но мы сделали предыдущий шаг для$\small U$):

• Если$\small A$находится к югу от$\small US$исходный уровень (при условии$\small U$находится к западу от$\small S$):$\small \psi_{A/U} = \psi_{S/U} + \beta_U$

• Если$\small A$находится к северу от$\small US$исходный уровень:$\small \psi_{A/U} = \psi_{S/U} - \beta_U$

Широта самолета$\small L_A$:

$$\sin(L_A) = \sin(L_U) \cos(\theta_{UA}) + \cos(L_U) \sin(\theta_{UA}) \cos(\psi_{A/U})$$

Долгота самолета$\small \lambda_A$:

$$\tan(\lambda_A - \lambda_U) = \frac {\sin(\psi_{A/U}) \sin(\theta_{UA})} {\cos(L_U) \cos(\theta_{UA}) - \sin(L_U) \sin(\theta_{UA}) \cos(\psi_{A/U})}$$

---

Я разместил реализацию Python на Stack Overflow.