Какая формула для чисел f верна: f/D или 1/(2NA)?

Я видел два разных определения числа f объектива общего назначения. Они последовательны?

Я предполагаю, что объекты удалены (не макро, увеличение небольшое), и у нас есть объектив с поправкой на кому и сферическую аберрацию.

Я имею в виду f-число в том смысле, что оно указывает на яркость объектива, не имеющего внутренних потерь.

Определение 1/(2 * Numerical_Aperture) приводит к пределу f/0,5; определение f / D - нет.

Я смотрел: Датчики изображения и обработка сигналов для цифровых фотоаппаратов Дзюнъити Накамура.

Приложение - Попытка уточнить:

Моя предыстория: у меня математическое образование с уклоном в прикладную физику, поэтому я понимаю тригонометрические тождества и аппроксимации, хотя в моей работе не так много моего математического образования.

Я формально не изучал оптику со времен средней школы, где изучал тонкие сферические линзы.

Как фотограф, я понимаю повседневное использование чисел f при фотографировании немакрообъектов и то, что числа T иногда более актуальны. Я знаю об изменениях эффективного числа f в макрослучаях, но на самом деле я не занимаюсь макросъемкой.

Недоумение и вопрос:

Вопрос касается фотообъективов, хоть сколько-нибудь исправленных на кому и сферическую аберрацию, сфокусированных вблизи бесконечности, с ничтожным увеличением, ничтожными внутренними потерями, в среде с показателем преломления, близким к 1, в точках на сенсоре, близких к оси объектива.

Наиболее распространенная формула для числа f: N = f/D.

Формулы для числа f, включающие числовую апертуру («NA»), в сочетании с формулами для числовой апертуры иногда дают результаты для числа f («N»), которые отличаются от N = f/D, когда f/D мало (скажем, f-число < 2).

Как согласовать эти противоречивые результаты?

Подход NA дает понять, что существует нижняя граница f-числа, равная 0,5, потому что угол конуса света, падающего на центр датчика, не может превышать 180 градусов. Эта нижняя граница не сразу ясна из формулы N = f/D.

Меня смущают небольшие f-числа выше этого предела f / 0,5.

Как я уже сказал, я плохо разбираюсь в оптике. Интересно, связаны ли несоответствия с предполагаемой формой «второй главной плоскости» линзы?

Если угол полуконуса равен 𝜃', я, кажется, получаю разные значения для 𝜃', в зависимости от предполагаемой формы второй главной плоскости:

  • Если вторая главная плоскость считается плоской, я получаю tan 𝜃' = D/2f
  • Если вторая главная плоскость считается сферической с радиусом f, я получаю sin 𝜃' = D/2f

Возможно, как намекают в комментариях, ни одна из форм не является очень точным представлением реальной линзы, и точный ответ можно предсказать только с помощью трассировки лучей.

В любом случае, является ли sin 𝜃' = D/2f лучшим приближением, чем tan 𝜃' = D/2f для фотографического объектива общего назначения?

[Для светосильных линз 𝜃' ~= sin 𝜃' ~= tan 𝜃' ~= D/2f, где 𝜃' в радианах]

Я не очень понимаю это, но я читал, что (почти) сферическая вторая главная плоскость желательна для исправления сферических аберраций.

Если NAi = n sin 𝜃' и f-число = 1/(2*NAi):

  • Если sin 𝜃' = D/2f, мы получаем f-число = (1/n)(f/D) даже для светосильных объективов
  • Если tan 𝜃' = D/2f, мы получаем f-число = (1/n)(f/D)sqrt(1+(D/2f)^2)
@scottbb «Они последовательны?»
@scottbb Мне кажется, вопрос в том, «Почему одна формула приводит к жесткому ограничению, а другая — нет, если обе верны?» Ведь вопрос уже показывает осознание теоретически максимально возможного относительного отверстия.
@MichaelClark Мне это не приходило в голову. Возможно Вы правы.

Ответы (3)

Ваша формула f-число = 1/(2*NA*), где NA — числовая апертура , не является точным отражением формулы, представленной в книге, на которую вы ссылаетесь: f-число = 1/(2sinΘ'), если только не предполагается показатель преломления равен ровно 1. Показатель преломления вакуума равен 1. Показатель преломления воздуха при стандартной температуре и давлении равен 1,000277. Хотя тонкая линза удовлетворяет требованию n = 1,000277, ни одна комбинированная линза не обеспечивает идеальной коррекции таких аберраций, как кома и сферическая аберрация. Таким образом, f-число ≈ 1/(2*NA*) является фактической формулой.

число f = f /D, где f — фокусное расстояние, а D — диаметр входного зрачка , эквивалентно числу f ≈ 1/(2*NA*) в пределах ограничений максимального угла, под которым свет попадает в объектив может пройти через линзу. Я думаю, что некоторые сбиваются с пути, потому что они предполагают, что если передняя часть объектива увеличена, входной зрачок обязательно также увеличится в соответствии с увеличенным размером объектива.

Таким образом, число f = f/D является точным показателем яркости объектива, сфокусированного на бесконечность... и... число f = n / (2*NA).
Таким образом, число f = f/D является точным показателем яркости объектива, сфокусированного на бесконечность... и... число f = n / (2*NA). Часть книги Накамуры, которая меня смутила, заключалась в том, что «когда значение Θ' очень мало, его можно аппроксимировать ...» [как] F = f / D. Это неправильно? Кажется, существует проблема / несоответствие со страницей числовой апертуры Википедии, где формула, включающая арктангенс, должна использовать арксинус, согласно комментарию ниже формулы, которая относится к «условию синуса Аббе», а затем говорит «[...] традиционное определение тонкой линзы и иллюстрация числа f вводят в заблуждение».
@JEJV Когда Накамура говорит, что «когда значение 𝜃' очень мало ...», он имеет в виду малоугловое приближение , которое просто означает, что для малых 𝜃 sin𝜃 ≈ 𝜃. Даже при 𝜃 = 10° ошибка < 1%. Это приближение постоянно используется в физике и технике, часто до такой степени, что мы забываем о нем. Это может быть ловушкой, потому что затем мы расширяем использование простых формул, полученных с использованием аппроксимации, на области, где простые формулы больше не работают, потому что предварительное условие малого 𝜃 больше не выполняется.
@scotbb: Я думаю, что этот вопрос должен быть связан, но я не знаю, как это сделать: какая максимальная диафрагма соответствует байонету Nikon F?
@JEJV Проблема с Nikon или любой другой системой крепления, если на то пошло, не имеет ничего общего с углами входа в объектив. Скорее, эта проблема связана с тем, что угол света, проецируемый задней частью объектива, ограничен более узким отверстием между объективом и камерой. Если конус света, проецируемый задней частью объектива, слишком широк, чтобы пройти через отверстие в передней части камеры, часть этого света будет потеряна. Если сенсор настолько большой, что его затеняет отверстие в передней части камеры, то тоже будет иметь место жесткое виньетирование.
@scottbb не должен ли ваш комментарий выше говорить, что «... для малых Θ sinΘ ≈ Θ, когда Θ выражается в радианах ? Кроме того, поскольку tanΘ ≈ Θ также верно (когда Θ выражается в радианах), то tanΘ ≈ sinΘ может быть выведено.
@MichaelClark прав на радианы, хороший звонок. Однако вывод tan Θ ≈ sin Θ по-прежнему проблематичен, потому что любой из них (tan или sin) выполняется только для малых Θ. Ошибка ƒ( x ) – x положительна для ƒ( x ) = tan( x ) и отрицательна для sin( x ) (опять же, как вы указываете, для малых x в радианах). Таким образом, установка одного примерно равного другому усугубляет ошибку. И опять же, мы не говорим о малых углах. Мы говорим о максимально возможном угле , при котором может быть получена математически возможная наибольшая числовая апертура (180°). Это недопустимое значение для малоуглового приближения.
@MichaelClark Я не говорю о FoV. Я имею в виду тот факт, что самый светосильный объектив, который вы можете получить, будет иметь число f, равное N = 1/(2×sin(α/2)), где α — угол конуса, фокусирующего коллимированный свет. от этого "идеального" объектива. sin(α/2) имеет максимальное значение 1 при α=180°, поэтому максимальное относительное отверстие равно 0,5. См. этот ответ для получения этого предела на основе etendue: каким образом крепление объектива ограничивает максимально возможную апертуру объектива?
@MichaelClark: причина, по которой я упомянул «Какая максимальная диафрагма соответствует байонету Nikon F?» заключалась в том, что в этом вопросе было некоторое упоминание о том, следует ли рассматривать вторую главную поверхность как плоскую или сферическую. Сферическая вторая главная поверхность, по-видимому, показана на рис. 01 здесь . «На самом деле, на линзах со сферической коррекцией эта поверхность не плоскость, а сфера с центром во второй фокусной точке (F')».

Не совсем понятно, о чем вы спрашиваете, но яркость изображения, проецируемого объективом относительно сцены, зависит от фокусного расстояния, деленного на диаметр апертуры. Эта формула по существу нормализует разницу в фокусном расстоянии между разными объективами.

Например, если пренебречь поглощением света материалом линзы и предположить небольшое (<< 1) увеличение, линза 100 мм с апертурой диаметром 25 мм будет давать ту же проекцию яркости, что и линза 200 мм с апертурой 50 мм. Во втором случае проецируемое изображение будет в два раза больше по линейному размеру, следовательно, занимая в 4 раза больше площади. Тем не менее, апертура 50 мм имеет в 4 раза большую площадь, чем апертура 25 мм, поэтому пропускает нужное количество дополнительного света, чтобы компенсировать его распространение на большую площадь.

Поскольку говорить обо всем вышесказанном громоздко, в фотографии мы используем краткие обозначения. Это обозначение является «f-числом». Название происходит от выражения f/xx, используемого для обозначения диафрагмы, например, f/2.0, f/2.8, f/4.0, f/5.6, f/8.0 и т. д. В этих выражениях «f» относится к фокусному расстоянию объектива. объектив, а общее выражение указывает на диаметр апертуры. Для объектива 120 мм f/4 буквально означает апертуру (120 мм)/4 = 30 мм в диаметре.

В фотографии удобно и стало привычным думать об изменении уровня освещенности в два раза. Свет, проходящий через объектив, пропорционален площади его апертуры. Каждое удвоение площади означает, что диаметр увеличивается на квадратный корень из 2. Вот откуда берутся общие f-числа. Мы начинаем с f/1 и увеличиваем знаменатель на sqrt(2) = 1,414 для каждого удвоенного количества света. Поэтому общая последовательность такова: f/1, f/1,4, f/2, f/2,8, f/4, f/5,6, f/8, f/11, f/16 и т. д.

Я был озадачен тем, было ли число f = f/D точным показателем яркости объектива без потерь, сфокусированного на бесконечность, или какая-то другая формула была более точной или лучше отражала эту ограниченную реальность. Накамура писал: «Когда значение Θ 'очень мало, его можно аппроксимировать с помощью следующего уравнения, в котором диаметр падающих световых лучей принимается за D. [...] F = f / D». Я знаком с повседневным немакро-использованием f-чисел.
@JEJV: F-число — это точное указание, которое только нормализует фокусное расстояние между объективами. Однако на практике другие эффекты незначительны. Из них доминирующими являются потери в линзах и дополнительные потери из-за коэффициента увеличения. Первый обычно достаточно мал, чтобы его можно было игнорировать в большинстве случаев. Последнее действительно становится значительным, когда приближается к «макро» диапазону. Например, вы на 2 ступени диафрагмы ниже при увеличении 1x, на -0,3 ступени диафрагмы при увеличении 1/10 и на -0,14 ступени диафрагмы при увеличении 1/20.
Спасибо. Так что фраза «может быть аппроксимирована » у Накамуры вводит в заблуждение, верно? И формула NA в Википедии с участием арктана тоже неверна? А арктан должен быть арксин?? - Как обсуждалась в комментарии ниже формула?
@JEJV: есть и другие реальные эффекты, такие как потеря света вне оси.
@JEJV re: Статья в Википедии arctan v. arcsin: Нет, статья в Википедии сама по себе не является ошибочной . Для сферических линз уравнение правильное. Но, как отмечено в WP, когда вы говорите об объективах с коррекцией комы и хроматической аберрации, одна или обе основные плоскости объектива больше не являются плоскими — сама «плоскость» изогнута. Это означает, что поверхность линзы не является сферической, что означает, что линза больше не описывается идеальным уравнением производителя линз. Как только вы перейдете к несферической форме, простые уравнения закрытой формы больше не будут применяться.
@Olin Lathrop: «потеря света вне оси» - это «оптическое виньетирование»? - Уменьшение эффективной площади апертуры, видимой внеосевыми лучами света ?
@scottbb: я попытался немного прояснить свой вопрос. Вы говорите, что точное вычисление числа f или угла конуса в скорректированных линзах, как правило, потребует трассировки лучей?

Объектив камеры действует точно так же, как объектив проектора, поскольку он проецирует изображение внешнего мира на поверхность пленки или цифрового чипа изображения. Фокусное расстояние объектива показывает его способность увеличивать. Речь идет о размерах изображений предметов. Объектив 100 мм проецирует изображение, которое в два раза больше, чем объектив 50 мм.

Увеличение имеет свою цену. Каждое удвоение фокусного расстояния заставляет лучи, формирующие изображение, играть на четырехкратно большей площади поверхности. Иными словами, фокусное расстояние удваивается, а яркость изображения уменьшается в четыре раза. И наоборот, если фокусное расстояние уменьшается вдвое, яркость изображения увеличивается в четыре раза. Это изменение яркости изображения происходит, как описано, при неизменном рабочем диаметре апертуры.

Изменение яркости изображения при изменении фокусного расстояния имеет большое значение. Это затрудняет определение экспозиции. Это особенно верно, потому что существует множество различных объективов для камер — все с разными фокусными расстояниями и рабочими диаметрами апертуры. Как мы можем преодолеть путаницу?

Отношение к спасению: Отношение - это безразмерная величина. Мы прибегаем к фокусному соотношению наших объективов, чтобы избавиться от хаоса. Яркость изображения тесно связана с фокусным расстоянием и рабочим диаметром диафрагмы. Делим фокусное расстояние на диаметр рабочей диафрагмы и вычисляем «отношение фокусных расстояний» (сокращенно f/число). Таким образом, объектив 100 мм с рабочей апертурой 25 мм работает с фокусным расстоянием 100 ÷ 25 = 4 (обозначается как f/4). Прелесть этого метода в том, что любой объектив, работающий на f/4, пропускает один и тот же свет. Это верно, даже если это гигантский телескоп со 100-метровым фокусным расстоянием и рабочим диаметром 25 метров, он проецирует такую ​​же яркость изображения, как и 100-мм объектив с рабочим диаметром апертуры 25 мм.

Фокусное отношение или набор чисел f/number основаны на геометрии кругов. Если вы умножите диаметр любого круга на квадратный корень из 2 = 1,1416 (можно округлить до 1,4), вы вычислите исправленный круг с удвоенной площадью поверхности. Таким образом, если объектив имеет диаметр апертуры 25 мм, и вы хотите, чтобы этот объектив пропускал в 2 раза больше света, тогда 25 х 1,4 = 35. Другими словами, рабочая апертура диаметром 35 мм пропускает в 2 раза больше света, чем рабочая апертура 25 мм. Результат — в 2 раза больше яркости изображения.

Используя коэффициент 1,4, появляется набор чисел. 1 – 1,4 – 2 – 2,8 – 4 – 5,6 – 8 – 11 – 16 – 22 -32 Обратите внимание, что каждое число, идущее справа, равно его соседу слева, умноженному на 1,4. Каждое число, идущее влево, равно его соседу справа, деленному на 1,4. Это основа почтенного набора диафрагменных чисел. Это соотношение помогает нам контролировать яркость изображения, а приращение — это удвоение или уменьшение вдвое света, проходящего через линзу.

Теперь сменим тему (возможно): в моем классе прошлых лет я часто рассказывал эту историю. Вы капитан кавалерийского отряда «А». Сто человек на лошадях маршируют по юго-западной пустыне Америки в патруле. Вода - проблема, но вы ожидаете дождя. Вы приказываете войскам разбить лагерь на ночь. Вы приказываете людям выкопать круглую яму диаметром 8 футов и выложить ее тканью для палатки. Как и ожидалось, идет дождь, и яма начинает собирать дождевую воду. Из-за вашего обучения в Вест-Пойнте вы знаете, что яма диаметром 8 футов достаточна для сбора дождевой воды для ваших нужд. Неожиданно дозорный замечает приближающийся отряд «Б» -- еще 100 человек на лошадях. Вы приказываете своим людям расширить диаметр круглой ямы, чтобы накопить 200 человек и лошадей.

Насколько велика должна быть переработанная яма, чтобы удвоить количество собранной дождевой воды?

Ответ: Вы умножаете диаметр ямы (8 футов) на 1,4142. Это значение представляет собой квадратный корень из 2. Ответ равен 11,3 (округляя 11 футов). Вы заказываете яму, расширенную до 11 футов в диаметре. Удивительно, но это новое значение заставляет яму накапливать в два раза больше воды, чем раньше. Почему? Площадь поверхности (сборный бассейн) теперь вдвое больше; таким образом, он может улавливать в два раза больше дождя.

Какая формула для чисел f верна: f/D или 1/(2NA)?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v