Какая симметрия ответственна за вырождение гамильтониана свободной частицы?

Рассмотрим гамильтониан ЧАС "=" п Икс 2 2 м в 1-Д. Он инвариантен относительно п Икс → − п Икс . Опять же, этот гамильтониан также обладает трансляционной симметрией. Какая из этих двух функций отвечает за дважды вырожденные собственные функции энергии для данной энергии Е ? Я думаю, что это первое (должен ли я называть это симметрией по четности?). Я прав?

Мы знаем, что любая симметрия проявляется как вырождение в квантовой механике. Верно? В чем тогда проявляется трансляционная симметрия?

Ответы (2)

Нет, четная симметрия не является причиной двойного вырождения состояний свободных частиц, потому что группа Z 2 является абелевой группой и, следовательно, не имеет неприводимых представлений размерности больше единицы. Трансляционная симметрия также не отвечает по той же причине. Вам нужны оба.

Предположим, что вместо этого мы работаем с симметричным потенциалом U ( Икс ) "=" U ( − Икс ) , поэтому у нас есть только четная симметрия. В данном случае тот факт, что

п | п ⟩ "=" | − п ⟩
не приводит к вырождению, так как | п ⟩ и | − п ⟩ не являются собственными состояниями гамильтониана. Вместо этого он говорит нам, что, поскольку мы можем одновременно диагонализовать ЧАС и п , мы можем выбрать, чтобы все собственные состояния были четными или нечетными.

Возвращаясь к ситуации со свободными частицами, это рассуждение говорит о том, что мы должны рассматривать четные и нечетные волновые функции, такие как потому что ⁡ ( п Икс ) и грех ⁡ ( п Икс ) найти собственные состояния, а не плоские волны е я п Икс . Однако это не говорит нам, что потому что ⁡ ( п Икс ) и грех ⁡ ( п Икс ) дегенераты! Вместо этого их вырождение следует из того факта, что они связаны трансляционной симметрией,

потому что ⁡ ( п Икс ) "=" грех ⁡ ( п Икс + π / 2 ) .
Делая замену базиса, мы восстанавливаем тот факт, что е я п Икс и е − я п Икс являются дегенеративными.

Математически мы можем получить вырождение, учитывая как четность, так и трансляционную симметрию, потому что эти операции не коммутируют. Полученная неабелева группа допускает нетривиальные ирповины, в данном случае иррепрезентации размерности два.

Некоторую предысторию этого рассуждения см. здесь . Также обратите внимание, что приведенный выше аргумент не требует непрерывности трансляционной симметрии, поэтому он также применим (и объясняет вырождение) блоховских состояний с противоположными импульсами кристалла.

Блоховские состояния всегда дважды вырождены для ненулевых к — даже когда потенциал элементарной ячейки асимметричен. Это означает, что должна быть и какая-то другая симметрия.
Интересный. Я никогда не думал об этом, но это имеет большой смысл.
Как мы можем быть уверены, что вырождение в собственных состояниях энергии свободных частиц е ± я п Икс не из-за симметрии обращения времени? @knzhou
@SRS Я на самом деле не уверен, так как T антиунитарен, и это все усложняет ... У меня такое чувство, что нет, потому что T и P по существу коммутируют, поэтому у нас все еще есть абелева симметрия.
Но если п час я ( Икс , т ) является энергетическим собственным состоянием с энергией E, ф * ( Икс , − т ) также собственное энергетическое состояние с той же энергией. @кнчжоу
@SRS Но это коммутирует с четностью, верно? По крайней мере, воздействуя на плоские волны, это ничего нового не добавляет.
«По крайней мере, воздействуя на плоские волны, это означает, что он не добавляет ничего нового» . Состояние плоских волн ф ( Икс , т ) "=" е я ( п Икс − Е т ) идет к своему дегенеративному партнеру ф * ( Икс , − т ) "=" е − я ( п Икс + Е т ) под обращением времени. Верно? Если вы согласны, то не скажете ли вы, что это вырождение существует из-за симметрии обращения времени? Обращение времени также не сочетается с перемещением в пространстве. Верно? @кнчжоу
@SRS Хм, но я говорю только о пространственной зависимости, то есть о волновой функции в фиксированное время. Я думаю, что T и P недостаточно, потому что, если мы включим потенциал гармонического осциллятора, у вас все еще будут T и P, но вы потеряете вырождение.

Вы правы относительно преобразования четности, оно подразумевает вырождение всех состояний с конечным импульсом.

Эффект трансляционной симметрии не подразумевает больше, чем то, что известно из закона сохранения импульса, поскольку оба оператора тесно связаны. Действительно, оператор перевода задается выражением

Т ^ ( а ) "=" е я п ^ а
(с точностью до знака, в зависимости от активной/пассивной точки зрения).

Тривиально проверяется, что он действительно коммутирует с гамильтонианом свободной частицы. Собственными состояниями гамильтониана являются собственные состояния оператора импульса | п ⟩ , с волновой функцией Ψ п ( Икс ) ∝ е я п Икс . Все переведенные состояния

| п ⟩ ′ "=" Т ^ ( а ) | п ⟩ "=" е я п а | п ⟩
вырождаются. На уровне волновой функции
Ψ п ′ ( Икс ) "=" е я п а Ψ п ( Икс ) ∝ е я п ( Икс + а )
.

Все это означает только то, что все воспламенения имеют одинаковую энергию, независимо от места, где находится источник.

@NowIGetToLearnWhatAHeadIs: Согласен. Я изменил свой ответ.
вы уверены, что это не из-за симметрии обращения времени?
Какая симметрия ответственна за вырождение гамильтониана свободной частицы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v