В поисках качественного простого описания теоремы Вигнера-Экарта

Этот вопрос вдохновил меня на попытку написать концептуальное введение в статью в википедии . Чтобы избавить вас от необходимости нажимать, я скопировал его ниже. (Это немного вдохновлено тем, что @Kostia написал здесь )

Обоснованный пример: элементы матрицы оператора позиционирования для перехода 4d→2s

Допустим, мы хотим рассчитать переходные дипольные моменты электрона для перехода с 4d-орбитали на 2p-орбиталь атома водорода, т.е. матричные элементы вида$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$, где r _i — компонент x , y или z оператора положения , а m ₁ , m ₂ — магнитные квантовые числа , которые различают разные орбитали в подоболочке 2p или 4d. Если мы сделаем это напрямую, то потребуется вычислить 45 различных интегралов: есть три возможности для m ₁ (-1, 0, 1), пять возможностей для m ₂ (-2, -1, 0, 1, 2) и три возможности. вариантов для i , поэтому общее количество равно 3×5×3=45.

Теорема Вигнера – Эккарта позволяет получить ту же информацию после вычисления только одного из этих 45 интегралов ( можно использовать любой из них, если он отличен от нуля). Затем остальные 44 интеграла можно вывести, просто используя алгебру, с помощью коэффициентов Клебша-Гордана , которые можно легко найти в таблице или вычислить вручную или на компьютере.

Качественное резюме доказательства

Теорема Вигнера-Экарта работает, потому что все 45 различных вычислений связаны друг с другом поворотами. Если электрон находится на одной из 2p-орбиталей, вращение системы обычно перемещает его на другую 2p-орбиталь (обычно он оказывается в квантовой суперпозиции всех трех базисных состояний, m = +1,0,-1). Точно так же, если электрон находится на одной из 4d-орбиталей, вращение системы переместит его на другую 4d-орбиталь. Наконец, аналогичное утверждение верно для оператора положения: когда система вращается, три различных компонента оператора положения эффективно меняются местами или смешиваются.

Если мы начнем со знания только одного из 45 значений — скажем, мы знаем, что$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle = K$— и затем мы поворачиваем систему, мы можем сделать вывод, что K также является матричным элементом между повернутой версией$\langle 2p,m_1 |$, повернутая версия$r_i$, и повернутая версия$| 4d,m_2 \rangle$. Это дает алгебраическое соотношение, включающее K и некоторые или все 44 неизвестных матричных элемента. Разные повороты системы приводят к разным алгебраическим соотношениям, и оказывается, что информации достаточно, чтобы вычислить таким образом все матричные элементы.

(На практике, прорабатывая эту математику, мы обычно применяем операторы углового момента к состояниям, а не к вращению состояний. Но это в основном одно и то же из-за тесной математической связи между операторами вращения и углового момента .)

С точки зрения теории представлений

Чтобы более точно сформулировать эти наблюдения и доказать их, полезно обратиться к математике теории представлений . Например, набор всех возможных 4d-орбиталей (т.е. пять состояний m =-2,-1,0,1,2 и их квантовые суперпозиции ) образуют 5-мерное абстрактное векторное пространство. Вращение системы преобразует эти состояния друг в друга, так что это пример «группового представления» - в данном случае 5-мерное неприводимое представление («irrep») группы вращения SU (2) или SO (3) , также называемое «представлением спина 2». Точно так же квантовые состояния 2p образуют трехмерный ирреп (называемый «спин-1»),

Теперь рассмотрим элементы матрицы$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$. Оказывается, что они преобразуются поворотами в соответствии с прямым произведением этих трех представлений, т. е. представления со спином-1 2p-орбиталей, представления со спином-1 компонентов r и представления со спином-2 4d- орбиталей. орбитали. Это прямое произведение, 45-мерное представление SU(2), не является неприводимым представлением , а представляет собой прямую суммупредставления со спином 4, двух представлений со спином 3, трех представлений со спином 2, двух представлений со спином 1 и представления со спином 0 (т.е. тривиального). Ненулевые матричные элементы могут происходить только из подпространства со спином 0. Теорема Вигнера – Эккарта работает, потому что разложение прямого произведения содержит одно и только одно подпространство со спином 0, что означает, что все матричные элементы определяются одним масштабным коэффициентом.

Помимо общего коэффициента масштабирования, вычисление матричного элемента$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$эквивалентно вычислению проекции соответствующего абстрактного вектора (в 45-мерном пространстве) на подпространство со спином 0. Результатом этого расчета являются коэффициенты Клебша–Гордана .

Возможно (для этой цели) простейшим выражением теоремы Вигнера-Экхарта на простом языке будет «что еще это может быть?» Угловое движение ядра описывается спином. Спиновый оператор является вектором. Нам нужен тензор второго ранга для квадрапольного взаимодействия. Из оператора вращения вы можете сделать только один бесследовый симметричный тензор второго ранга, и поэтому вы используете его. Конечно, это простой пример, и (как обычно) простые примеры из теории групп позволяют вам получить правильный ответ, не зная (на самом деле), что вы делаете. Однако в этом заключается «субстанция» Вигнера-Экхарта — существует лишь конечное число возможностей (которые можно вычислить с помощью теории групп) для выражения тензоров в терминах операторов, описывающих состояния. Вам необходимо убедиться, что вы все такие возможности представляли хотя бы один раз.

Итак, это объяснение (мой первый пост на stackexchange!) основано на книге Х. Джорджи «Алгебры Ли в физике элементарных частиц», глава 4. Поскольку$Q_{ij}$симметрична, реальна и бесследна, имеет 5 независимых степеней свободы. Так можно выразить$Q_{ij}$в «сферическую» основу$Q^s_l$, куда$s=2$в этом случае и$l$принимает значения -2, -1, 0, 1, 2. (Для полноты, оператор сферического тензора, который преобразуется при представлении спина s SU (2), представляет собой набор операторов, таких что:$[J_a,Q^s_l]=Q^s_m[J^s_a]_{ml}$).

Суть теоремы Вигнера-Экарта в том, что что-то вроде$Q^s_l |j,m,\alpha>$, который физически соответствовал бы электрическим эффектам атома, имеющего угловой момент, на самом деле математически ведет себя как два тензора углового момента (вспомните сложение углового момента частиц в квантовой механике). С точки зрения обозначений, это ваш квадрупольный тензорный оператор, действующий на некоторое состояние с квадратом полного углового момента j (j + 1) и угловым моментом z m. Здесь$\alpha$параметризует любую другую физику, происходящую в системе, например, непертурбативные квантово-хромодинамические эффекты в ядре, которые очень сложно рассчитать.

Утверждение теоремы Вигнера-Экарта состоит в том, что$<J,m',\beta|Q^s_l|j,m,\alpha>=\delta_{m',l+m}<J,l+m|s,j,l,m> * <J,\beta|Q^s|j,\alpha>$.

На LHS у вас есть амплитуда вероятности измерения$Q^s_l|j,m,\alpha>$иметь полный угловой момент J(J+1), z угловой момент$m'$и с "новой" физикой$\beta$(что может быть довольно сложно). В правой части теорема Вигнера-Экарта говорит, что если вы знаете амплитуду вероятности$<J,\beta|Q^s|j,\alpha>$, который можно рассчитать для ЛЮБОГО вашего$Q^s_l$(вычислено означает, что экспериментатор произвел измерение или какой-то трудолюбивый аспирант сделал расчет), то используя только известную вам теорию групп$<J,m',\beta|Q^s_l|j,m,\alpha>$для всех остальных$l$. Все, что вам нужно сделать, это рассчитать (или посмотреть в таблицах)$<J,l+m|s,j,l,m>$. Этот термин происходит из сути теоремы о том, что тензорный оператор, умноженный на кет, ведет себя как два кета, которые могут быть описаны на основе отдельных угловых моментов |s,j,l,m> или на основе комбинированных угловых моментов.$|J,l+m>$.

Все это возникает из-за того, что$Q^s_l$операторы образуют неприводимое представление, а именно из некоторого вектора старшего веса$Q^2_2$в вашем примере вы можете получить все остальные$Q^2_l$просто применяя понижающий оператор. Так что все они родственники. Таким образом, термин$<J,\beta|Q^s|j,\alpha>$которая содержит всю неприятную физику, является универсальной константой в рамках данного неприводимого представления. Поэтому нам не нужно вычислять его для каждого$l$, только один из них (самый простой).

Надеюсь это поможет!

Попытаюсь ответить. Теорема, как вы знаете, основана на теории представлений .

Теория представлений для групп Ли играет важную роль, потому что она утверждает, что наблюдаемые могут быть построены из алгебры генераторов группы .

Операторы углового момента являются генераторами сферической группы (если можно так сказать)

Таким образом, каждый оператор углового момента преобразует состояние/наблюдатель через сферу, которая является основной группой/многообразием Ли сферически симметричной системы. А составное преобразование — это линейная комбинация более простых преобразований.

Подобно тому, как оператор импульса генерирует пространственные переносы (системы), а оператор Гамильтона генерирует временные переносы (системы).

Я считаю, что самое простое объяснение на самом простом языке состоит в том, что теорема Вигнера-Экхарта является квантово-механическим выражением сохранения углового момента.

Это может быть неочевидным, но трудно быть проще.