Рассматривая симметрии Вайнбергом, действительно ли он рассматривает одну лежащую в основе абстрактную группу?

Я изучаю книги Вайнберга по QFT, и что касается симметрий, я совершенно не понимаю различия между группой и ее представлениями в представлении Вайнберга.

  1. Прежде всего, Вайнберг утверждает, что преобразования симметрии — это лучевые преобразования, сохраняющие вероятности п ( р → р н ) определено для луча р и семейство взаимно ортогональных лучей р н быть

    (2.1.7) п ( р → р н ) "=" | ( Ψ , Ψ н ) | 2 , ∀ Ψ е р , Ψ н е р н .

    Затем он указывает (стр. 52), что:

    Множество преобразований симметрии обладает определенными свойствами, определяющими его как группу . Если Т 1 это преобразование, которое принимает лучи р н в р н ′ и Т 2 это еще одно преобразование, которое требует р н ′ в р н ″ , то результатом выполнения обоих преобразований является еще одно преобразование симметрии, которое запишем Т 2 Т 1 , что занимает р н в р н ″ . Кроме того, преобразование симметрии Т который принимает лучи р н в р н ′ имеет обратную запись Т − 1 который занимает р н ′ в р н и есть преобразование личности Т "=" 1 который оставляет лучи неизменными.

  2. Он также формулирует теорему Вигнера, которая утверждает, что преобразования симметрии, определенные выше, могут быть реализованы либо с помощью унитарных линейных, либо антиунитарных и антилиарных операторов в гильбертовом пространстве. ЧАС . В его обозначениях для каждого преобразования симметрии Т получается унитарный оператор U ( Т ) . Затем Вайнберг доказывает, что

    (2.2.14) U ( Т 2 ) U ( Т 1 ) "=" е я ф ( Т 2 , Т 1 ) U ( Т 2 Т 1 ) ,

говоря это U ( Т ) является проективным представлением преобразований симметрии.

После этого резюме, вот мои вопросы:

Таким образом, согласно (1) выше, чтобы иметь дело с симметриями, Вайнберг на самом деле неявно считает, что существует группа г такой, что у нас есть один гомоморфизм Т отображение г в группу лучевых преобразований?

Другими словами, для каждого г е г у нас есть Т ( г ) лучевое преобразование. При наложении требования симметрии согласно (2) выше мы имеем, что все Т ( г ) спускается к одному U ( Т ( г ) ) и эти U ( Т ( г ) ) образуют проективное представление г .

Из-за этого в конце концов он забывает Т целиком и напрямую работает с проективными представлениями г на гильбертовом пространстве состояний. Это оно?

Основное различие между тем, что я пишу, и тем, что пишу Вайнберг, заключается в том, что я пытаюсь абстрагировать группу от ее представлений.

Итак, я предполагаю, что есть одна основная группа г симметрии, которые приводят к лучевым преобразованиям, а затем к проективным представлениям, в то время как Вайнберг, кажется, отождествляет г с самими лучевыми преобразованиями.

Верна ли моя точка зрения, что за всем этим стоит одна абстрактная группа? Или на самом деле за лучевыми преобразованиями не стоит группа, и вместо этого Вайнберг на самом деле определяет группу с самими лучевыми преобразованиями?

Ответы (1)

Вы по сути правы. Философия Вайнберга в основном такова: предположим, вы знаете (скажем, благодаря экспериментальным результатам), что изучаемая вами физическая система имеет симметрии, описываемые группой г . Есть много примеров этого, например, вращательная симметрия в трех измерениях, которая описывается группой С О ( 3 ) . Как можно построить гильбертово пространство ЧАС который описывает эту квантово-механическую систему?

Любое преобразование симметрии должно удовлетворять двум свойствам:

  • Он должен переводить физические состояния в физические состояния.
  • Он должен сохранять вероятности, когда преобразование применяется как к начальному, так и к конечному состоянию.

Они определяют лучевое преобразование. То есть по первому условию у нас есть карта из г в пространство отображений в себя на проективном гильбертовом пространстве п ЧАС (пространство, точки которого соответствуют физическим состояниям). Второе условие сохранения вероятностей означает, что любое самоотображение Т : п ЧАС → п ЧАС что на изображении г должен происходить от унитарного и линейного или антиунитарного и антилинейного оператора U ( Т ) : ЧАС → ЧАС . В этом состоит содержание теоремы Вигнера. Приложив немного дополнительных усилий, вы можете доказать, что это действительно определяет гомоморфизм. Вы можете думать об этом как о 2-ступенчатом гомоморфизме, первая карта из г к группе изометрии п ЧАС с метрикой Фубини-Штуди (это "группа лучевых преобразований" на вашем языке), а второй оттуда в группу унитарно-линейных или антиунитарно-антилинейных операторов на ЧАС . Первый шаг — физический, а второй — чисто математический.

Конечным результатом является то, что гильбертово пространство должно быть проективным представлением г . Это не сразу очевидный факт; можно было бы подумать, что симметрия может быть реализована нелинейно в гильбертовом пространстве, но теорема Вигнера говорит нам, что этого не может быть. Поскольку на практике с лучевыми преобразованиями не так просто работать, мы обычно предпочитаем работать с операторами.

Вы также ставите вопрос о том, можем ли мы построить группу г из его (проективного) представления. Это не совсем разумный вопрос, поскольку группа г является частью данных представления. При этом, при определенных условиях, если вы знаете все представления г можно реконструировать г , хотя это направление отличается от того, о чем говорит Вайнберг. Точнее, учитывая набор представлений (без каких-либо их данных) вместе с информацией о том, как они связаны (см. Категория представлений ), можно реконструировать г если это компактная топологическая группа (с точностью до центрального расширения, если мы включаем проективные представления). Это известно как двойственность Таннака-Крейна .

Рассматривая симметрии Вайнбергом, действительно ли он рассматривает одну лежащую в основе абстрактную группу?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v