Группы, действующие на физику - разъяснение по электронам и спину

Группа$SO(3)$— группа физических преобразований пространственных вращений. Он также содержится в большей группе Лоренца, которая является группой изоморфизма метрики пространства-времени в специальной теории относительности. И вы преобразуете объект, как векторы$\vec x$как в

$$\vec x \mapsto \vec x'= R\cdot\vec x,$$

где$R\in SO(3)$является матрицей.

В квантовой механике вас интересуют средние значения наблюдаемых, таких как

$$\langle X\rangle_\psi:=\frac{\langle\psi|X|\psi\rangle}{\langle \psi|\psi\rangle}.$$ Этот объект инвариантен относительно $|\psi\rangle\mapsto c\ |\psi\rangle$, где $c$некоторое ненулевое комплексное число. Состояние, обозначенное $\psi$представляет собой целый луч векторов. Теперь вы хотите повернуть состояние в гильбертовом пространстве.

$$|\psi\rangle\mapsto T_R |\psi\rangle,$$

где$T_R$является преобразованием, соответствующим вращению с фундаментальным представлением$R$. Собирая все вместе, вы видите, что если вы представляете преобразования (вращения,...) в гильбертовом пространстве квантовой механики, вы должны представлять их ($SO(3),...$) только до фазы . Поэтому теперь у вас больше возможностей. Ваш фактор$-1$такая фаза.

Вы можете прочитать вторую главу книги Вайнберга о QFT, чтобы получить более подробную информацию. Результат – возможность$SU(2)$представления, т. е. спиноры. Грубо говоря, можно сказать, что вы все еще используете$SO(3)$-angles для вашего преобразования, так как оба имеют три параметра. Но, как вы сказали в своем первом вопросе,$SU(2)$активно действует на две векторные компоненты фермиона. Обратите внимание, что если у вас есть объекты, зависящие от координат,$\psi(\vec x)$, то аргумент$\vec x$по-прежнему преобразуется условно, а поле$\psi$как таковой имеет некоторый закон преобразования.

Конечно, есть еще много групп, имеющих отношение к квантовой механике и другим физическим теориям (например, калибровочные группы, как вы упомянули). Но что касается вашего второго вопроса, что касается «только вращений»,$SU(2)$уже является универсальной накрывающей группой . Это простые связанные группы Ли, лежащие поверх восходящих цепочек, которые вы ищете.

В качестве примечания, это двойное покрытие может быть выполнено и для других размеров некоторых$S$специальные группы.

Собственно ротационная группа$SO(3)$ действует «на физику» даже при наличии спина.

Дело в том, что волновая функция$\psi(\vec x, \sigma)$является избыточным описанием физического состояния. Волновая функция с другой общей фазой$c\psi(\vec x, \sigma)$описывает точно такое же физическое состояние. В конце концов, интерес представляют только ожидаемые значения наблюдаемых величин.

$$\langle X\rangle_\psi:=\frac{\langle\psi|X|\psi\rangle}{\langle \psi|\psi\rangle}.$$

и они инвариантны относительно вращения$R$

$$\langle X\rangle_{R\psi} = \langle X\rangle_{\psi} .$$

Математически мы можем сказать, что действие группы вращений на физические состояния является проективным представлением , т.е. оно действует на линии $\lbrace\lambda\psi(\vec x,\sigma), \lambda\in\mathbb C\rbrace$(одномерные подпространства) в гильбертовом пространстве, но не на отдельных векторах. Однако, как вы можете прочитать на странице википедии выше, каждое проективное представление группы Ли, например$SO(3)$обычно можно получить из линейного представления его универсальной накрывающей группы, например$SU(2)$. (Линейное представление просто означает, что группа действует на отдельные векторы.)

Подводя итог, ротационная группа$SO(3)$действует и на обычную квантовую механику, но для практических расчетов полезно обобщить ее на$SU(2)$вместо.

Существуют даже некоторые разногласия относительно того, рассматриваете ли вы волновые функции как физически значимые величины и добавляете дополнительную симметрию («с точностью до фазы»), или же вы берете частное «волновая функция с точностью до фазы» как физически значимые величины и работаете в факторпространстве.

---

Что касается второго вопроса, я думаю, что можно классифицировать все группы Ли$G$с гомоморфизмом$G \to SO(3)$с помощью групповых когомологий, но я недостаточно знаком с этой темой, чтобы дать ответ.