Является ли спин-вращательная симметрия модели Китаева D2D2D_2 или Q8Q8Q_8?

Известно, что гамильтониан Китаева и его основное состояние спиновой жидкости нарушают$SU(2)$спин-вращательная симметрия . Так что же такое группа спин-вращательной симметрии для модели Китаева?

Очевидно, что гамильтониан Китаева инвариантен относительно$\pi$вращения вокруг трех осей вращения, а в некоторых недавних работах авторы дают «группу» (см. комментарии в конце)$G=\left \{1,e^{i\pi S_x}, e^{i\pi S_y},e^{i\pi S_z} \right \}$, где$(e^{i\pi S_x}, e^{i\pi S_y},e^{i\pi S_z})=(i\sigma_x,i\sigma_y,i\sigma_z )$, с$\mathbf{S}=\frac{1}{2}\mathbf{\sigma}$и$\mathbf{\sigma}$являются матрицами Паули.

А как насчет группы кватернионов$Q_8=\left \{1,-1,e^{i\pi S_x}, e^{-i\pi S_x},e^{i\pi S_y},e^{-i\pi S_y},e^{i\pi S_z}, e^{-i\pi S_z}\right \}$, с$-1$представляющий$2\pi$оператор вращения вращения. С другой стороны, рассмотрим группу диэдра$D_2=\left \{ \begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&0 &1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 0& -1 & 0\\ 0&0 &-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&0 &-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 &0 \\ 0& -1 & 0\\ 0&0 &1 \end{pmatrix} \right \}$, и эти$SO(3)$матрицы также могут реализовывать$\pi$спиновое вращение.

Итак, какой из них вы выберете,$G,Q_8$, или$D_2$? Заметить, что$Q_8$является подгруппой$SU(2)$, пока$D_2$является подгруппой$SO(3)$. Более того,$D_2\cong Q_8/Z_2$, как$SO(3)\cong SU(2)/Z_2$, где$Z_2=\left \{ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 &1\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right \}$.

Комментарии :$G$определенное выше , даже не является группой , так как, например,$(e^{i\pi S_z})^2=-1\notin G$.

Примечания: обратите внимание, что$D_2$нельзя рассматривать как подгруппу _$Q_8$, как$SO(3)$нельзя рассматривать как подгруппу _$SU(2)$.

Дополнительно: в качестве примера рассмотрим систему с двумя спинами 1/2. Мы хотим получить некоторое представление о том, какие виды волновых функций сохраняют$Q_8$спин-вращательная симметрия из этой простейшей модели. Для удобства пусть$R_\alpha =e^{\pm i\pi S_\alpha}=-4S_1^\alpha S_2^\alpha$представлять$\pi$операторы вращения-вращения вокруг осей вращения$\alpha=x,y,z$, где$S_\alpha=S_1^\alpha+ S_2^\alpha$. Поэтому, говоря о волновой функции$\psi$имеет$Q_8$спин-вращательная симметрия, мы имеем в виду$R_\alpha\psi=\lambda_ \alpha \psi$, с$\left |\lambda_ \alpha \right |^2=1$.

После несложных вычислений находим, что$Q_8$спин-вращательная симметричная волновая функция$\psi$может принимать только одну из следующих 4 возможных форм:

$(1) \left | \uparrow \downarrow \right \rangle-\left | \downarrow \uparrow \right \rangle$, с$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(1,1,1)$(синглетное состояние с полным $SU(2)$спин-вращательная симметрия), которая аннулируется$S_x,S_y,$и$S_z$,

$(2) \left | \uparrow \downarrow \right \rangle+\left | \downarrow \uparrow \right \rangle$, с$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(-1,-1,1)$, который уничтожается$S_z$,

$(3) \left | \uparrow \uparrow \right \rangle-\left | \downarrow \downarrow \right \rangle$, с$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(1,-1,-1)$, который уничтожается$S_x$,

$(4) \left | \uparrow \uparrow \right \rangle+\left | \downarrow \downarrow \right \rangle$, с$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(-1,1,-1)$, который уничтожается$S_y$.

Обратите внимание, что любой вид суперпозиции вышеуказанных состояний больше не будет собственной функцией$R_\alpha$и, следовательно, нарушит$Q_8$спин-вращательная симметрия.